App bilineari semidefinite positive

[angus89]

Sia \( \displaystyle {v} \) uno spazio vettoriale reale di dimensione \( \displaystyle {n}\ge{2} \) e sia \( \displaystyle {B}:{V}{x}{V}\to{R} \) una forma bilineare simmetrica su \( \displaystyle {V} \).
Supponiamo che \( \displaystyle \exists{\overline{{{v}}}}\in{V} \) tale che \( \displaystyle {B}{\left({v},{v}\right)}\gt{0} \)

Si consideri allora il seguente insieme
\( \displaystyle {I}={\left\lbrace{v}\in{V}{\mid}{B}{\left({v},{v}\right)}={0}\right\rbrace} \)


Dimostrare che \( \displaystyle {I} \) è un sottospazio di \( \displaystyle {V} \) se e solo se \( \displaystyle {B} \) è semidfinita positiva.



Bè come cosa mi riesce diffcile...
Ne ho provate un bel pò di cose ma evito di scriverle dato che probabilmente non sono utili e confondono soltanto

[angus89]

Bè io ci provo, ma sia chiaro che non mi ritengo per nulla soddisfatto dalla seguente dimostrazione, seppur sia giusta (credo/spero)

Per hp sappiamo che \( \displaystyle \exists{\overline{{{v}}}}\in{V}{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) possiamo quindi normalizzare il vettore (che chiameremp \( \displaystyle {\overline{{{v}}}} \)) e completare a base ortonormale...

Supponiamo dunque che esista almeno un vettore della base ortonormale tale che \( \displaystyle {B}{\left({w},{w}\right)}=-{1} \)
dunque ordiniamo come segue la nostra base

\( \displaystyle {B}_{{V}}={\left({\overline{{{v}'}}},{w},{v}_{{1}},\ldots,{v}_{{n}}\right)} \)

Consideriamo dunque
\( \displaystyle {u}={\overline{{{v}'}}}-{w} \)
\( \displaystyle {s}=-{\overline{{{v}'}}}-{w} \)

abbiamo \( \displaystyle {u}\in{I} \) e \( \displaystyle {s}\in{I} \) ma \( \displaystyle {u}+{s}\notin{I} \)

Se volete l'argomentazione più esplicita è sufficiente provare a scrivere la matrice associata al prodotto scalare appena costruito e i vettori in coordinare rispetto alla base.

Ad ogni modo da sylvester ricaviamo che l'indice di negatività è \( \displaystyle {0} \) dunque l'applicazione bilineare è semidefinita positiva.

Sottolineo ancora una volta che la dimostrazione continua a non piacermi.