\( \displaystyle {A}{p}{p}{l}{\left({X},{V}\right)} \)

[delbi]

Non so proprio da che parte iniziare con questo esercizio teorico di geometria:
"Sia \( \displaystyle {X} \) un insieme, \( \displaystyle {V} \) un \( \displaystyle {K} \)-spazio vettoriale e \( \displaystyle {A}{p}{p}{l}{\left({X},{V}\right)} \) l'insieme di tutte le applicazioni \( \displaystyle {f{:}}{X}\to{V} \).Dimostrare che \( \displaystyle {A}{p}{p}{l}{\left({X},{V}\right)} \) è uno spazio vettoriale, con la seguente somma e moltiplicazione scalare:
\( \displaystyle {\left({f{+}}{g}\right)}{\left({x}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}} \), \( \displaystyle {\left(\lambda{f}\right)}{\left({x}\right)}=\lambda{f{{\left({x}\right)}}} \)
\( \displaystyle {f},{g{\in}}{A}{p}{p}{l}{\left({X},{V}\right)} \)."

[dissonance]

Non è possibile dare alcun suggerimento. Questo esercizio è un prototipo: ti è assegnato un insieme, su cui sono definite due operazioni, e ti si chiede di verificare gli assiomi di spazio vettoriale. Devi saperlo fare. Hai sicuramente già verificato gli assiomi di spazio vettoriale per qualche altro insieme, ad esempio per \(\mathbb{R}^n\). Cerca di mimare quanto già fatto per il caso in esame.

[delbi]

allora devo verificare le solite 4 proprietà:

i) \( \displaystyle \mu{\left(\lambda{f}\right)}{\left({x}\right)}=\mu\lambda{f{{\left({x}\right)}}}=\lambda{\left(\mu{f}\right)}{\left({x}\right)} \)
ii) \( \displaystyle {\left({1}\cdot{f}\right)}{\left({x}\right)}={1}\cdot{f{{\left({x}\right)}}} \)
iii) \( \displaystyle {\left({\left(\mu+\lambda\right)}{\left({f}\right)}\right)}{\left({x}\right)}={\left({\left(\mu{f}\right)}+{\left(\lambda{f}\right)}\right)}{\left({x}\right)}={\left(\mu{f}\right)}{\left({x}\right)}+{\left(\lambda{f}\right)}{\left({x}\right)}=\mu{f{{\left({x}\right)}}}+\lambda{f{{\left({x}\right)}}} \)
iv) \( \displaystyle {\left(\lambda{\left({f{+}}{g}\right)}\right)}{\left({x}\right)}={\left({\left(\lambda{f}\right)}+{\left(\lambda{g}\right)}\right)}{\left({x}\right)}={\left(\lambda{f}\right)}{\left({x}\right)}+{\left(\lambda{g}\right)}{\left({x}\right)}=\lambda{f{{\left({x}\right)}}}+\lambda{g{{\left({x}\right)}}} \)

cosi va bene o manca qualcosa?

[dissonance]

E si, questo devi fare. Mi pare vada bene. E' importante che tu capisca bene il concetto, comunque, più che l'esercizio in sé che è banale.