Data una matrice \( \displaystyle {C}={\left(\matrix{-{2}&{1}&{3}&\frac{{1}}{{2}}\\{2}&{0}&-{4}&{1}\\{3}&-{1}&-{5}&{0}}\right)} \):
1) Stabilire se l'applicazione lineare associata alla matrice \( \displaystyle {C} \) è iniettiva;
2) Stabilire se il vettore \( \displaystyle {\vec{{v}}}={{\left({1},{0},-{2}\right)}}^{{T}} \) appartiene all'immagine di tale applicazione lineare; (Cioè se il sistema \( \displaystyle {C}{\vec{{x}}}={\vec{{v}}} \) è compatibile);
1) Per verificare se l'applicazione lineare associata alla matrice data è iniettiva ho moltiplicato la matrice per un vettore \( \displaystyle {\vec{{x}}}={\left[{x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},{x}_{{4}}\right]} \) ed ottengo un sistema: \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{-{2}{x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{3}{x}_{{3}}+\frac{{1}}{{2}}{x}_{{4}}={0}\\{2}{x}_{{1}}-{4}{x}_{{3}}+{x}_{{4}}={0}\\{3}{x}_{{1}}-{x}_{{2}}-{5}{x}_{{3}}={0}}\right.} \).
Risolvendo tale sistema ottengo la dimensione del kernel di C, se tale dimensione è 0 quindi il vettore nullo, allora l'applicazione lineare associata alla matrice è iniettiva. Giusto?
Se è giusto allora in questo caso tale applicazione lineare non è iniettiva perchè il risultato è diverso da 0.
2) Per stabilire se \( \displaystyle {\vec{{v}}} \) appartiene all'immagine devo mettere a sistema \( \displaystyle {C}{\vec{{x}}} \) con \( \displaystyle {\vec{{v}}} \) ed ottenere \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{-{2}{x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{3}{x}_{{3}}+\frac{{1}}{{2}}{x}_{{4}}={1}\\{2}{x}_{{1}}-{4}{x}_{{3}}+{x}_{{4}}={0}\\{3}{x}_{{1}}-{x}_{{2}}-{5}{x}_{{3}}=-{2}}\right.} \). Risolvendo il sistema trovo se l'identità è verificata, se questo accade allora il vettore \( \displaystyle {\vec{{v}}} \) appartiene a tale immagine, altrimenti no.
Il ragionamento è giusto?
Volevo approfittare anche per chiedervi se potevate consigliarmi un buon testo dove viene spiegata bene l'algebra lineare e magari anche la geometria analitica...Così non devo più fare miscugli di concetti sulla rete
Beh meglio così grazie!!!! Per il punto 2 invece il ragionamento è corretto?