applicazioni lineari

[delbi]

Ho questo simpatico esercizio:
"Siano \( \displaystyle {V} \) uno spazio vettoriale e \( \displaystyle {U} \) , \( \displaystyle {W} \) due sottospazi. Sia \( \displaystyle {f{:}}{U}\times{W}\to{V} \) l'applicazione \( \displaystyle {f{{\left({u},{w}\right)}}}={u}+{w} \).
i) Dimostrare che \( \displaystyle {f} \) è lineare
ii) Determinare il nucleo \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({f}\right)} \) e l'immagine \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \)
iii) Applicare la formula di dimensione per applicazioni lineari: cosa si nota?"

Allora per il punto i):
Prendo un altro vettore \( \displaystyle {\left({u}_{{1}},{w}_{{1}}\right)}\in{U}\times{V} \) e verifico che \( \displaystyle {f} \) sia omogenea e additiva:
\( \displaystyle {f{{\left({\left({u},{w}\right)}+{\left({u}_{{1}},{w}_{{1}}\right)}\right)}}}={f{{\left({\left({u}+{u}_{{1}},{w}+{w}_{{1}}\right)}={u}+{u}_{{1}}+{w}+{w}_{{1}}={f{{\left({u},{w}\right)}}}+{f{{\left({u}_{{1}},{w}_{{1}}\right)}}}\right.}}} \)
\( \displaystyle \lambda{f{{\left({u},{w}\right)}}}=\lambda{\left({u}+{w}\right)}=\lambda{u}+\lambda{w}={f{{\left(\lambda{u},\lambda{w}\right)}}} \)

Quindi \( \displaystyle {f} \) è lineare

ii):
Io so che per definizione \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({f}\right)}={\left\lbrace{\left({u},{w}\right)}\in{U}\times{W}:{f{{\left({u},{w}\right)}}}={0}_{{V}}\right\rbrace} \)
e qua iniziano i problemi...
\( \displaystyle {f{{\left({u},{w}\right)}}}={u}+{w}={0} \) cioè \( \displaystyle {w}={\left(-{u}\right)} \) o \( \displaystyle {u}={\left(-{w}\right)} \) ?

e anche per calcolare \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \) non so bene come fare...

[girdav]

Il nucleo di \( \displaystyle {f} \) è l'insieme delle copie della forma \( \displaystyle {\left({u},-{u}\right)} \) con \( \displaystyle {u}\in{U}\times{W} \). L'immagine è \( \displaystyle {U}+{W} \).

[delbi]

quindi \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)}={u}+{w} \)?
e il nucleo è \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({f}\right)}={\left\lbrace{\left({u},-{u}\right)},{\left({w},-{w}\right)}\right\rbrace} \)?
poi per l'ultima domanda, cosa posso dire su \( \displaystyle {D}{i}{m}{V}={D}{i}{m}{\left({K}{e}{r}{\left({f}\right)}\right)}+{D}{i}{m}{\left({I}{m}{\left({f}\right)}\right)} \)?
che \( \displaystyle {D}{i}{m}{V}={D}{i}{m}{\left({I}{m}{\left({f}\right)}\right)} \), perchè \( \displaystyle {D}{i}{m}{\left({K}{e}{r}{\left({f}\right)}\right)}={0} \)?