Approssimazione

[Gino8x]

Salve a tutti. Sto studiando Fisica II e mi è capitata oggi una dimostrazione di una formula. In pratica non mi è chiara questa approssimazione:

Per \( \displaystyle {{\left(\frac{{R}}{{x}}\right)}}^{{2}} \) molto minore di \( \displaystyle {1} \):

\( \displaystyle {\left({1}-\frac{{x}}{\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}}}\right)}\stackrel{\sim}{=}{1}-{\left[{1}-\frac{{1}}{{2}}{{\left(\frac{{R}}{{x}}\right)}}^{{2}}\right]} \)

Qualcuno puo' chiarirmi la cosa?

[Whisky84]

Raccogli \( \displaystyle x^2 \) sotto radice e poi portalo fuori (per semplificare i calcoli suppongo \( \displaystyle x>0 \) ):
\( \displaystyle 1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}} = 1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2\left(1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}\right)} =1-\dfrac{x}{x\sqrt{1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}} = 1-\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}} \)

Ponendo \( \displaystyle y=\left(\frac{R}{x}\right)^2 \) :
\( \displaystyle 1-\dfrac{1}{\sqrt{1+y}} \)

Se \( \displaystyle y\ll 1 \) allora la funzione è approssimabile con il suo sviluppo di Taylor centrato in \( \displaystyle y=0 \) (sviluppo di McLaurin) arrestato al prim'ordine:
\( \displaystyle 1-\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}\simeq \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}\right)_{y=0} +\left(\dfrac{1}{2\sqrt{(1+y)^2}}\right)_{y=0}\cdot y \quad=\quad \dfrac{1}{2}y \)

Risostituendo il valore di \( \displaystyle y \) :
\( \displaystyle \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\left(\frac{R}{x}\right)^2 \)

Che è proprio l'espressione che compare nella tua dimostrazione

[Gino8x]

Mi era completamente sfuggito lo sviluppo di Taylor. Grazie mille per la risposta.

[Whisky84]

Prego figurati
Nel 99% delle volte in cui vedi delle approssimazioni valide quando una certa quantità è sufficientemente piccola (molto minore di uno) sotto c'è lo zampino di Taylor