Arcotangente di un numero complesso

[vik]

Salve a tutti!
Devo calcolare l'arctan del numero complesso \( \displaystyle {12}-{16}{j} \) (espresso in radianti), mi ricordavo che dovevo fare \( \displaystyle {2}\pi-{\arctan{{\left(\frac{{16}}{{12}}\right)}}} \) ma non mi torna con il resto dell'esercizio.
Grazie

[gugo82]

Non si capisce cosa devi fare.
La formula che riporti è quella per determinare l'argomento principale del numero complesso \( \displaystyle 12-16\ \jmath \) , non certo il valore di \( \displaystyle \arctan (12-16\ \jmath) \) (ricorda che la funzione \( \displaystyle \arctan z \) è definita in \( \displaystyle \mathbb{C} \) ).

[K.Lomax]

Probabilmente voleva dire fase del suddetto numero complesso . Tenuto conto che la parte immaginaria è negativa e quella reale positiva, vuol dire che siamo nel quarto quadrante, ragion per cui:

\( \displaystyle \angle z=-\arctan\left(\frac{16}{12}\right) \)

Dato che la tangente è periodica di \( \displaystyle \pi \) la fase avrà lo stesso valore in corrispondenza dell'angolo contenuto nel secondo quadrante:

\( \displaystyle \angle z=\pi-\arctan\left(\frac{16}{12}\right) \)

Convenzionalmente si utilizza quest'ultimo valore.

[vik]

Scusate non mi sono spiegato bene, cmq come ha intuito K.LOmax devo calcolare l'argomento di un numero complesso per trovare l'antitrasformata di Laplace.

Però devo trasformare \( \displaystyle \pi \) in radianti o sto facendo confusione?

Grazie

[K.Lomax]

Stai facendo sicuramente confusione. Gli angoli in radianti, per un completo angolo giro, vanno da \( \displaystyle 0 \) a \( \displaystyle 2\pi \) . La conversione radianti-gradi è la seguente:

\( \displaystyle \theta_{deg}=\theta_{rad}\frac{180}{\pi} \)

e vanno da \( \displaystyle 0 \) a \( \displaystyle 360° \) .
Comunque mi puzza che tu debba fare questi calcoli per un'antitrasformata.

[vik]

Grazie, KLomax.
Devo antitrasfomare avendo due poli complessi e coniugati e la formula che viene suggerita (diversa da quella che conoscevo) è:

\( \displaystyle {2}{\left|{R}{1}\right|}{{e}}^{{\sigma{t}}}{\cos{{\left({w}{t}+{a}{r}{g{{\left({R}{1}\right)}}}\right)}}} \)

con l'argomento espresso in radianti

[K.Lomax]

Meglio se scrivi quale la funzione che devi antitrasformare, potrebbe essere più semplice di quello che sembra.