Area massima dei trapezi

[shintek20]

Fra tutti i trapezi inscritti in una semicirconferenza di raggio r e aventi per base maggiore il diametro,determinare quello avente area massima.


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Ho posto \( \displaystyle {H}{C}={x} \)

Ho ricavato con pitagora \( \displaystyle {O}{H}=\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}} \)

Cosi l'area è uguale:\( \displaystyle {A}={\left({r}+{x}\right)}\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}} \)

Ed ora?

[@melia]

Derivata prima e segno della derivata, manca anche l'insieme di esistenza dell'esercizio.

[shintek20]

Derivata prima e segno della derivata, manca anche l'insieme di esistenza dell'esercizio.

\( \displaystyle {y}'=-\frac{{{x}{\left({r}+{x}\right)}}}{{\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}}}} \)
\( \displaystyle {y}'\gt{0} \)
Cosi?La condizione sarebbe:\( \displaystyle {x}€{\left[{0},{r}\right]} \)?

[@melia]

La condizione è giusta, la derivata è sbagliata

[vittorino70]

Anche in questo caso si può fare a meno delle derivate,Scriviamo l'area in questo modo ( portando sotto radice il fattore positivo \(\displaystyle r+x \) ):
\(\displaystyle A=\sqrt{(r+x)^3(r-x)} \) ,sempre con la condizione \(\displaystyle 0<x<r \)
Ora sotto radice compare il prodotto di due potenze ( a base positiva) una di esponente 3 e l'altra di esponente 1.La somma delle basi è \(\displaystyle r+x+r-x=2r \) ed è quindi costante.Per una nota regola il prodotto in questione è massimo quando le basi sono proporzionali ai rispettivi esponenti.Cioé:
\(\displaystyle \frac{r+x}{3}=\frac{r-x}{1} \)
Da cui ricaviamo \(\displaystyle x=\frac{r}{2} \) che è accettabile.
Pertanto risulta \(\displaystyle \bar{CD}=r \)
Da questo risultato si ricava facilmente che è pure :\(\displaystyle \bar{BC}=\bar{DA}=r \) e dunque possiamo concludere che il trapezio di area massima richiesto è il semiesagono regolare inscritto nella semicirconferenza.

[shintek20]

La condizione è giusta, la derivata è sbagliata

L'ho rifatta:
\( \displaystyle {y}'=\frac{{-{2}{{x}}^{{2}}-{r}{x}+{{r}}^{{2}}}}{{\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}}}}\ge{0} \)
Mi risulta un massimo per \( \displaystyle {x}=\frac{{r}}{{2}} \)
E adesso?Non riesco a capire come arrivare alla conclusione geometrica...

[shintek20]

Anche in questo caso si può fare a meno delle derivate,Scriviamo l'area in questo modo ( portando sotto radice il fattore positivo \(\displaystyle r+x \) ):
\(\displaystyle A=\sqrt{(r+x)^3(r-x)} \) ,sempre con la condizione \(\displaystyle 0<x<r \)
Ora sotto radice compare il prodotto di due potenze ( a base positiva) una di esponente 3 e l'altra di esponente 1.La somma delle basi è \(\displaystyle r+x+r-x=2r \) ed è quindi costante.Per una nota regola il prodotto in questione è massimo quando le basi sono proporzionali ai rispettivi esponenti.Cioé:
\(\displaystyle \frac{r+x}{3}=\frac{r-x}{1} \)
Da cui ricaviamo \(\displaystyle x=\frac{r}{2} \) che è accettabile.

Mi dispiace,ma perché fai la somma delle basi?E qual è la regola del prodotto massimo?

[vittorino70]

@shintek20
Lascia perdere ...

[shintek20]

Scusami...ma purtroppo fino ora sono stato abituato dalla mia professoressa a risolverli tramite le derivate...per questo sono un po' estraneo a quest'altro metodo...potresti almeno spiegarmi perché se \( \displaystyle {x}=\frac{{r}}{{2}} \) diventa un semiesagono?

[vittorino70]

@shintek20
Non ce l'ho mica con te.I responsabili di una matematica per canoni standard sono altri .Tu non c'entri : sei la vittima!
Quanto alla interpretazione geometrica tieni presente che il lato dell'esagono regolare inscritto è uguale al raggio r.Inoltre hai :BC=CD=DA=r e dunque ...