area superficie regolare

[dragonheart90]

Ciao ragazzi vorrei una mano per questo esercizio:
si calcoli l'area della superficie regolare
\( \displaystyle \varphi:\rightarrow{{\mathbb{{{R}}}}}^{{2}} \) dove \( \displaystyle \varphi{\left({u},{v}\right)}={\left({u}\cdot{v},{u}+{v},{u}-{v}\right)} \)
e \( \displaystyle {D}={\left\lbrace{\left({u},{v}\right)}\in{\mathbb{R}}^{{2}}:{u}\ge{0},{v}\ge{0},{{u}}^{{2}}+{{v}}^{{2}}\le{1}\right\rbrace} \)

io ho svolto in questa maniera:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={u}\cdot{v}\\{y}={u}+{v}\\{z}={u}-{v}}\right.} \)
poi dalla matrice jacobiana
\( \displaystyle {\left(\matrix{{v}&{1}&{1}\\{u}&{1}&-{1}}\right)} \) da lì ho calcolato \( \displaystyle {{\left|{\left({v}-{u}\right)}\right|}}^{{2}}+{{\left|{\left(-{v}-{u}\right)}\right|}}^{{2}}+{{\left|{\left(-{2}\right)}\right|}}^{{2}}={2}\cdot{{\left({v}+{u}\right)}}^{{2}}+{4} \)

\( \displaystyle \int\int_{{D}}\sqrt{{{2}\cdot{\left({{v}}^{{2}}+{{u}}^{{2}}+{2}\right)}}}{d}{u}{d}{v} \) che non so come risolvere e nemmeno quali indici d'integrazione mettere
grazie in anticipo

[ciampax]

Pensalo come un integrale doppio nelle variabili \( \displaystyle {u},{v} \) e passa a coordinate polari \( \displaystyle {u}=\rho{\cos{\theta}},\ {v}=\rho{\sin{\theta}} \).

[dragonheart90]

facendo la sostituzione in coordinate polari:
ho ottenuto le condizioni \( \displaystyle -{1}\lt\rho\lt{1} \) e \( \displaystyle {0}\lt\vartheta\lt\frac{\pi}{{2}} \)
quindi
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}{\int_{{{0}}}^{{\frac{\pi}{{2}}}}}{d}\vartheta{\int_{{-{1}}}^{{{1}}}}\sqrt{{{\rho}^{{2}}+{2}}}\cdot\rho{d}\rho=\sqrt{{{2}}}{\int_{{{0}}}^{{\frac{\pi}{{2}}}}}{d}\vartheta\cdot\frac{{1}}{{2}}{\int_{{-{1}}}^{{{1}}}}\sqrt{{{\rho}^{{2}}+{2}}}\cdot{d}{\left({\rho}^{{2}}+{2}\right)}= \)

e viene \( \displaystyle =\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\cdot\frac{\pi}{{2}}\cdot{{\left[\frac{{2}}{{3}}\cdot{{\left({\rho}^{{2}}+{2}\right)}}^{{\frac{{3}}{{2}}}}\right]}_{{-{1}}}^{{{1}}}}={0} \)
perciò c'è qualcosa che non mi quadra... ho fatto qualche errore da qualche parte?? o prima o adesso?? o nel dominio \( \displaystyle \rho \) o \( \displaystyle \theta \) ?

[ciampax]

Ciccio, \( \displaystyle \rho \) è una distanza (quella del punto dall'origine del sistema di coordinate): ti pare possible che sia negativa? E poi alla fine perché diventa \( \displaystyle {\rho}^{{2}}-{2} \)???

[dragonheart90]

\( \displaystyle {\rho}^{{2}}-{2} \) è semplicemente perché ho sbagliato a digitare ovviamente è \( \displaystyle {\rho}^{{2}}+{2} \) ... cmq \( \displaystyle \rho \) mi era venuta tra -1 e 1 sostituendo le coordinate polari nelle condizioni... quindi sarebbe \( \displaystyle {0}\lt\rho\lt{1} \) ??

[ciampax]

Cerro che sì: la condizione per cui \( \displaystyle \rho\ge{0} \) deve essere sempre tenuta in mente!

[dragonheart90]

grazie tante... non avevo riflettuto sul fatto che \( \displaystyle \rho \) fosse la distanza... ora sono giunto ad un risultato all'apparenza plausibile ( spero sia giusto XD)... Cmq ora ho capito dove sbagliavo in molti altri esercizi

a ma se un area mi viene con il segno meno davanti vuol dire che è sicuramente sbagliata vero??

[ciampax]

Dalla definizione che usi per l'area ti rendi conto che necessariamente devi avere un valore positivo (perché?), per cui se viene negativo, hai toppato!

[dragonheart90]

no allora il risultato di questo integrale mi viene positivo... e penso sia corretto, il fatto dell'area negativa è di un altro esercizio che ipotizzo mi sia venuto sbagliato sbagliato... ma sul mio libro di testo, ho trovato un integrale doppio che viene \( \displaystyle -\frac{{2}}{{3}}\cdot{{r}}^{{2}} \) con r positivo quindi mi è sorto questo dubbio se l'area posa venire mai negativa...

[ciampax]

Un integrale doppio può avere valore negatiovo. Ma quando si tratta dell'area di una superficie il risultato deve essere per forza positiva, e ciò deriva dalla "regola" da te utilizzata (e di nuovo ti chiedo: perché?).