Martino ha scritto:Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo \( \displaystyle J \) della stessa cardinalita' del tuo insieme \( \displaystyle X \) (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente.
A me non risulta ovvio... secondo me lo risolve definitivamente! Spiegami il tuo punto di vista per piacere.
Non puoi assumere di essere capace di dare una struttura di gruppo ad ogni insieme di cardinalita' fissata (il tuo \( \displaystyle J \) ), perche' e' proprio questo che bisogna dimostrare.
Non l'ho assunto, l'ho costruito e se costruisco indipendentemente le strutture di gruppo, sono comunque in grado di darle ad altri insiemi.
Per dire, per insiemi di cardinalita' al piu' \( \displaystyle |\mathbb{R}| \) non serve l'assioma della scelta, dato che se X e' finito prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{Z}_n \) , se e' numerabile prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{Z} \) , se ha la cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{R} \) prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{R} \) , e in tutti e tre i casi trasporti la struttura (definisci cioe' \( \displaystyle x \star y := f^{-1}(f(x)+f(y)) \) ). Ma come fai nel caso generale?
In ogni caso l'assioma della scelta lo usi per dare un arbitrario valore alla tua funzione, il caso generale è solo una problematica di "conteggio" degli elementi dell'insieme di partenza, visto che poi la definizione che ho dato esaurisce tutti i casi e lascia l'insieme con la struttura di gruppo.
"La realtà è una invenzione di chi ha dimenticato come si sogna!" C.M.
"Le domande non sono mai stupide, esprimono dei nostri dubbi, solo le risposte possono esserlo!" Un saggio.