Assioma della scelta e gruppi

[Martino]

L'assioma della scelta e' equivalente all'asserto seguente:

Ogni insieme non vuoto ammette una struttura di gruppo.

Sono incorso in questo bel risultato tempo fa, e ora ho (involontariamente) dimenticato come si dimostra. Ci penso. Voi come lo fareste?

[Lord K]

Io lo farei seguendo la costruzione di gruppo libero delle parole dell'insieme. Faccio un esempio con alcuni funtori:

Sia \( \displaystyle \mathcal J \) una categoria piccola (risp. discreta) allora posso costruire un gruppo a partire da questa caegoria mediante un funtore \( \displaystyle \mathcal F: \mathcal J \rightarrow \mathbf{Set} \) . Sia \( \displaystyle \mathcal J = \mathbb Z \) (risp. \( \displaystyle \mathbb Z_n \) , con \( \displaystyle n \) la cardinalità dell'insieme), allora posso costruire un gruppo (additivo) nella seguente maniera:

\( \displaystyle \mathcal F(j)= X_j \in \mathbf{Set} \)

Definisco l'operazione \( \displaystyle \star \) come segue:

\( \displaystyle X_i \star X_j = X_{i+j} \)
\( \displaystyle X_i^{-1} = X_{-i} \)

con le ovvie proprietà di gruppo che ne discendono (l'elemento neutro è \( \displaystyle X_0 \) e via discorrendo). L'assioma della scelta interviene nella scelta degli elementi a cui assegnare le varie immagini.

Unica richiesta iniziale in questa costruzione è la conoscenza della cardinalità dell'insieme dato. Se questo insieme non fosse numerabile basterebbe scegliere un altro insieme di indici con la stessa cardinalità.

[Martino]

Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo \( \displaystyle J \) della stessa cardinalita' del tuo insieme \( \displaystyle X \) (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente. Non puoi assumere di essere capace di dare una struttura di gruppo ad ogni insieme di cardinalita' fissata (il tuo \( \displaystyle J \) ), perche' e' proprio questo che bisogna dimostrare.

Per dire, per insiemi di cardinalita' al piu' \( \displaystyle |\mathbb{R}| \) non serve l'assioma della scelta, dato che se X e' finito prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{Z}_n \) , se e' numerabile prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{Z} \) , se ha la cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{R} \) prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{R} \) , e in tutti e tre i casi trasporti la struttura (definisci cioe' \( \displaystyle x \star y := f^{-1}(f(x)+f(y)) \) ). Ma come fai nel caso generale?

[Fioravante Patrone]

http://mathoverflow.net/questions/12973 ... ture-in-zf

e

http://groups.google.com/group/sci.math ... 00dfacb6ed
(dedotto dal primo link riportato)

[Lord K]

Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo \( \displaystyle J \) della stessa cardinalita' del tuo insieme \( \displaystyle X \) (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente.

A me non risulta ovvio... secondo me lo risolve definitivamente! Spiegami il tuo punto di vista per piacere.

Non puoi assumere di essere capace di dare una struttura di gruppo ad ogni insieme di cardinalita' fissata (il tuo \( \displaystyle J \) ), perche' e' proprio questo che bisogna dimostrare.

Non l'ho assunto, l'ho costruito e se costruisco indipendentemente le strutture di gruppo, sono comunque in grado di darle ad altri insiemi.

Per dire, per insiemi di cardinalita' al piu' \( \displaystyle |\mathbb{R}| \) non serve l'assioma della scelta, dato che se X e' finito prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{Z}_n \) , se e' numerabile prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{Z} \) , se ha la cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{R} \) prendi una biiezione \( \displaystyle f:X \to \mathbb{R} \) , e in tutti e tre i casi trasporti la struttura (definisci cioe' \( \displaystyle x \star y := f^{-1}(f(x)+f(y)) \) ). Ma come fai nel caso generale?

In ogni caso l'assioma della scelta lo usi per dare un arbitrario valore alla tua funzione, il caso generale è solo una problematica di "conteggio" degli elementi dell'insieme di partenza, visto che poi la definizione che ho dato esaurisce tutti i casi e lascia l'insieme con la struttura di gruppo.

[Martino]

Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo \( \displaystyle J \) della stessa cardinalita' del tuo insieme \( \displaystyle X \) (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente.

A me non risulta ovvio... secondo me lo risolve definitivamente! Spiegami il tuo punto di vista per piacere.

Stai usando un principio "giuridico" (di cui non ricordo il nome) al contrario. Sei tu che non hai giustificato a sufficienza le tue affermazioni, non io che non le ho contraddette con abbastanza decisione. Come fai a dare una struttura di gruppo ad un insieme di cardinalita' strettamente piu' grande a quella di \( \displaystyle \mathbb{R} \) (per esempio)? Questo non credo che tu l'abbia chiarito. Tu hai solo detto

Se questo insieme non fosse numerabile basterebbe scegliere un altro insieme di indici con la stessa cardinalità.

Ma tu nel tuo esempio avevi una struttura di gruppo sull'insieme di indici, mentre in generale non l'hai.

[Martino]

http://mathoverflow.net/questions/12973/does-every-non-empty-set-admit-a-group-structure-in-zf

Proprio qui l'ho preso !

[Lord K]

Se prendo \( \displaystyle J \subset \mathbf{Grp} \) risolvo. In ogni caso si può dimostrare come le costruzioni di insiemi strutturati sono indipendenti da ZFC.

[Martino]

Se prendo \( \displaystyle J \subset \mathbf{Grp} \) risolvo. In ogni caso si può dimostrare come le costruzioni di insiemi strutturati sono indipendenti da ZFC.

Scusa la franchezza, ma non potevi essere meno chiaro. Potresti dirmi come fai a generalizzare il tuo argomento a un \( \displaystyle J \) qualunque?

[Lord K]

L'idea di base è costruire dei gruppi che possano trasferire le loro proprietà in un insieme qualsiasi mediante il funtore di cui sopra, per fare questo ho necessità di partire dagli assiomi di ZFC e, senza l'assioma della scelta, costruire \( \displaystyle \mathbb{N} \) poi \( \displaystyle \mathbb{Z} \) , \( \displaystyle \mathbb{Z_n} \) e poi tutti gli altri, compresi \( \displaystyle \mathbb{R} \) (la costruzione di questo comporta una costruzione non passante per le sezioni di Dedekind) e \( \displaystyle \mathbb{C} \) .

Se ho come base tutte le strutture con un numero di elementi finiti, oppure \( \displaystyle \aleph_0 \) , \( \displaystyle \aleph_1 \) posso costruire tutte le altre strutture con \( \displaystyle \aleph_n \) , con \( \displaystyle n \) qualsiasi.

Una volta che so il numero di elementi dell'insieme di cui devo costruire la struttura, determino dove va a finire l'elemento neutro mediante \( \displaystyle \mathcal F \) e tutto il resto lo fa il funtore con opportune scelte (opportune perchè deve essere iniettiva) e poi ottengo un gruppo sempre seguendo la traccia sopra.