automorfismi del gruppo simmetrico

[nico123]

per n diverso da 6 aut(Sn)=int(Sn)...perche? so che int(Sn)=Sn/Z(Sn)=Sn perche il centro è banale...devo dimostrare che aut(Sn)=Sn...per n=3 riesco a vederlo ma per gli altri?

[Steven]

per n=6 aut(Sn)=int(Sn)...perche?

Veramente questa proprietà vale proprio per tutti gli altri, cioè $n!= 6$

[nico123]

scusatemi avevo sbagliato! perche?

[Steven]

Guarda, la dimostrazione l'ho vista fare una volta, ma non era affatto banale.
Se dovessi trovarla te la linko, ma non saprei.
Nel frattempo magari qualcuno ne sa più di me e mi anticipa.

[Martino]

La dimostrazione non è semplice. Puoi trovarla qui, pagine 66 in basso e seguenti. Qui si dimostra che \( \displaystyle \text{Aut}(A_n)=S_n \) , e da questo puoi dedurre che \( \displaystyle \text{Aut}(S_n)=S_n \) osservando che ogni automorfismo di \( \displaystyle S_n \) induce per restrizione un automorfismo di \( \displaystyle A_n \) (perché \( \displaystyle A_n \) è caratteristico) e quindi che hai un omomorfismo \( \displaystyle \text{Aut}(S_n) \to \text{Aut}(A_n)=S_n \) , che è un isomorfismo in quanto se due automorfismi di \( \displaystyle S_n \) coincidono su \( \displaystyle A_n \) allora coincidono.