automorfismi di gruppi si estendono?

[paolo.papadia]

è un po che ci penso,senza risultati.
siano $H<G$ gruppi.
è vero che, per ogni automorfismo $g$ di $H$, esista almeno un automorfismo $f$ di $G$ tale che $f(H)=H$ e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ in $H$?

[vict85]

è un po che ci penso,senza risultati.
siano $H<G$ gruppi.
è vero che, per ogni automorfismo $g$ di $H$, esista almeno un automorfismo $f$ di $G$ tale che $f(H)=H$ e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ in $H$?

Quali automorfismi sia estendibili penso sia una risposta ancora aperta. D'altra parte penso che la risposta alla domanda generale sia falsa. O meglio è possibile che gli unici automorfismi che sono sicuramente estendibili siano quelli interni. http://www.cmi.ac.in/~vipul/unsolvedpro ... phisms.pdf

[Martino]

Un controesempio è il seguente. Prendiamo \( \displaystyle P \) un \( \displaystyle 2 \) -sottogruppo di Sylow di \( \displaystyle S_4 \) . E' noto che \( \displaystyle P \cong D_8 \) (il gruppo diedrale di ordine otto) ha otto automorfismi (e anzi \( \displaystyle \text{Aut}(D_8) \cong D_8 \) : cfr. qui(1) e qui(2)), quindi in particolare ammette automorfismi esterni (essendo \( \displaystyle D_8/Z(D_8) \cong C_2 \times C_2 \) ). Ma gli automorfismi di \( \displaystyle S_4 \) sono tutti interni (cfr. qui: segue dal fatto che \( \displaystyle \text{Aut}(S_4) \) agisce fedelmente sui quattro sottogruppi di \( \displaystyle S_4 \) di indice quattro, cioè gli stabilizzatori dei punti) e \( \displaystyle P \) si auto-normalizza in \( \displaystyle S_4 \) (coincide col suo normalizzante, dato che il suo indice coincide col numero dei suoi coniugati), quindi tutti gli automorfismi di \( \displaystyle P \) indotti da quelli di \( \displaystyle S_4 \) sono interni.

Il controesempio più piccolo è il seguente. Sia \( \displaystyle V \) un qualsiasi sottogruppo di \( \displaystyle D_8 \) isomorfo a \( \displaystyle C_2 \times C_2 \) . \( \displaystyle \text{Aut}(V) = GL(2,2) \cong S_3 \) agisce transitivamente sugli elementi non identici di \( \displaystyle V \) (esercizio elementare di algebra lineare: se \( \displaystyle V \) è uno spazio vettoriale allora \( \displaystyle GL(V) \) agisce transitivamente su \( \displaystyle V-\{0\} \) ), mentre \( \displaystyle \text{Aut}(D_8) \) no, dato che per esempio il centro di \( \displaystyle D_8 \) è caratteristico e contenuto in \( \displaystyle V \) (cfr. qui).

[paolo.papadia]

grazie, esaurienti e veloci come sempre! XD