Automorfismi interni

[Martino]

alla fine i laterali sono o no automorfismi?

Certo che no, sono oggetti diversi.

Prendi \( \displaystyle A_n \) . Si dimostra che il gruppo \( \displaystyle \mbox{Aut}(A_n) \) è isomorfo a \( \displaystyle S_n \) (ogni automorfismo è dato dal coniugio con un elemento di \( \displaystyle S_n \) ) per ogni \( \displaystyle n \ne 2,3,6 \) . Quindi \( \displaystyle \mbox{Out}(A_n) \cong C_2 \) per \( \displaystyle n \ne 2,6 \) . Invece \( \displaystyle \mbox{Out}(A_2)=\{1\} \) e \( \displaystyle \mbox{Out}(A_6) \cong C_2 \times C_2 \) .

Quindi se \( \displaystyle n \ne 2,6 \) c'è essenzialmente "un solo" automorfismo non interno di \( \displaystyle A_n \) , essenzialmente nel senso che due qualunque automorfismi non interni "differiscono" per un automorfismo interno.

Ma rimanendo nel rigore letterale un elemento di \( \displaystyle \mbox{Out}(A_n) \) è una classe \( \displaystyle \phi A_n \) dove \( \displaystyle \phi \in \text{Aut}(A_n) \) .

[Paolo90]

alla fine i laterali sono o no automorfismi?

Certo che no, sono oggetti diversi.

Prendi \( \displaystyle A_n \) . Si dimostra che il gruppo \( \displaystyle \mbox{Aut}(A_n) \) è isomorfo a \( \displaystyle S_n \) (ogni automorfismo è dato dal coniugio con un elemento di \( \displaystyle S_n \) ) per ogni \( \displaystyle n \ne 2,6 \) . Quindi \( \displaystyle \mbox{Out}(A_n) \cong C_2 \) per \( \displaystyle n \ne 2,6 \) . Invece \( \displaystyle \mbox{Out}(A_2)=\{1\} \) e \( \displaystyle \mbox{Out}(A_6) \cong C_2 \times C_2 \) .

Quindi se \( \displaystyle n \ne 2,6 \) c'è essenzialmente "un solo" automorfismo non interno di \( \displaystyle A_n \) , essenzialmente nel senso che due qualunque automorfismi non interni "differiscono" per un automorfismo interno.

Wow. Più o meno ho capito. Inutile dire che ho provato ad immaginarmi la dimostrazione di questi fatti, ma penso esuli dalle mie capacità (ho visto che se è parlato poco tempo fa sul forum in un vecchio topic di alvinlee).

Ma rimanendo nel rigore letterale un elemento di \( \displaystyle \mbox{Out}(A_n) \) è una classe \( \displaystyle \phi A_n \) dove \( \displaystyle \phi in \mbox{Aut}(A_n) \) .

Sì, questo è chiaro.

Posso chiederti un favore? Non è che per caso hai problemi interessanti (e abbastanza semplici) sugli automorfismi da proporre, per piacere? Sulla scia ad esempio degli automorfismi di gruppi ciclici (che è un esercizio molto bello, secondo me)...

GRAZIE.

[Martino]

Prova a trovare \( \displaystyle \mbox{Aut}(C_2 \times C_2) \) .

[Paolo90]

Prova a trovare \( \displaystyle \mbox{Aut}(C_2 \times C_2) \) .

Grazie.

Il gruppo \( \displaystyle {C}_{{2}}\times{C}_{{2}} \) non è ciclico e ha ordine 4. Sto cercando gli automorfismi, dunque delle particolari biiezioni (quelle che conservano l'operazione). Le biiezioni di un insieme di 4 elementi in se stesso sono \( \displaystyle {4}!={24} \). Quindi, \( \displaystyle {\left|{A}{u}{t}{\left({C}_{{2}}\times{C}_{{2}}\right)}\right|}\le{24} \).

Di questi 24 comincio a buttarne via un po': tengo solo quelli che mandano l'elemento neutro in sè stesso (perchè sia un omomorfismo di gruppi deve essere soddisfatta questa proprietà). Quindi i candidati sono solo più \( \displaystyle {3}!={6} \).

Adesso come mi suggerisci di procedere? Devo "scrivere" in cosa viene mandato ogni elemento e verificare se conserva l'operazione?
Ti ringrazio molto, come al solito.

[Paolo90]

Inoltre (mi è venuto in mente ora), dal momento che il gruppo trirettangolo è abeliano, il centro coincide con tutto il gruppo e il solo automorfismo interno è l'identità.

Restano cinque biiezioni (esclusa l'identità) da provare. Ora continuo a pensarci.

[Martino]

Elenca le cinque biiezioni e cerca di capire se sono omomorfismi

[Paolo90]

Comincio ad avere il sospetto che il gruppo che sto cercando è \( \displaystyle {S}_{{3}} \).
Le biiezioni che cerco sono le permutazioni di tre elementi, quindi la congettura è sensata.

La cosa che mi stupisce è che conservano le operazioni! E' una cosa che non mi sarei mai aspettato

Ho fatto dei tentativi, ad esempio:

\( \displaystyle \sigma={\left(\matrix{{a}{b}{c}\\{c}{a}{b}}\right)} \)
Ho \( \displaystyle \sigma{\left({a}{c}\right)}=\sigma{\left({b}\right)}={a} \)
e
\( \displaystyle \sigma{\left({a}\right)}\sigma{\left({c}\right)}={c}{b}={a} \)

Effettivamente le cose tornano, mi chiedo solo come dimostro che gli elementi di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) conservano le operazioni?

Grazie e scusa se ho sparato scemenze.

[Martino]

Direi che non c'è altro modo che fare i conti a mano (sono un numero finito ) per capire quante di quelle cinque biiezioni conservano le operazioni.

Una curiosità: se p è un numero primo e n è un intero positivo il gruppo \( \displaystyle \mbox{Aut}({C_p}^n) \) si indica con \( \displaystyle GL(n,p) \) (è un caso particolare di una classe di gruppi più generale, ma per comprenderla devi conoscere l'algebra lineare). Quindi il gruppo che ti ho proposto è \( \displaystyle GL(2,2) \) . Tu hai dimostrato che esso è isomorfo ad un sottogruppo di \( \displaystyle S_3 \) . Ma a quale?

[Paolo90]

C'è qualcosa che non mi torna. Trovo che tutte le biiezioni conservano le operazioni.
Ti faccio vedere come ho fatto.
Chiamo \( \displaystyle {V}={\left\lbrace{1},{a},{b},{c}\right\rbrace}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{2}}\times\mathbb{Z}_{{2}} \) il gruppo di cui sto cercando gli automorfismi. E' il trirettangolo per cui il composto di due elementi è il terzo e ogni elemento ha periodo 2.

Considero adesso la permutazione \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}{b}{c}\\{a}{c}{b}}\right)} \) per esempio.
Trovo:
\( \displaystyle \sigma{\left({a}{b}\right)}=\sigma{\left({c}\right)}={b}={a}{c}=\sigma{\left({a}\right)}\sigma{\left({b}\right)} \)
\( \displaystyle \sigma{\left({b}{c}\right)}=\sigma{\left({a}\right)}={a}={c}{b}=\sigma{\left({b}\right)}\sigma{\left({c}\right)} \)
\( \displaystyle \sigma{\left({a}{c}\right)}=\sigma{\left({b}\right)}={c}={a}{b}=\sigma{\left({a}\right)}\sigma{\left({c}\right)} \)

E' giusto questo modo di procedere? Perchè ho fatto i conti e mi trovo che tutte le permutazioni vanno bene...
Mmmm, qui c'è qualcosa che non va

Scusa il disturbo e grazie per l'aiuto.

[vict85]

Ogni automorfismo di \( \displaystyle C_2\times C_2 \) manda \( \displaystyle (0,0) \to (0,0) \) . Inoltre \( \displaystyle a=(1,0), b=(0,1), c=(1,1) \) in dei generatori di sottogruppi di ordine \( \displaystyle 2 \) e quindi le permuta tra di loro.

Riguardo alla dimostrazione che è \( \displaystyle S_3 \) non serve provarle tutte ma solamente le \( \displaystyle 3 \) trasposizioni dato che generano \( \displaystyle S_3 \) . Anzi ne basta \( \displaystyle 1 \) : \( \displaystyle (ac) \) o \( \displaystyle (bc) \) . L'esistenza dell'automorfismo \( \displaystyle (ab) \) è banale per le proprietà del prodotto diretto. Se la trasposizione non conservasse l'operazione rimarrebbe \( \displaystyle C_3\cong A_3 \) e il sottogruppo banale. Ma d'altra parte non ce n'é bisogno...