Anzitutto grazie mille a dissonance per lo stupendo link (quanta roba!
Grazie mille, sei sempre un grande).
In secondo luogo, vediamo se ho capito: provo a rispondere alla domanda di Martino:
Martino ha scritto:Prova a fare il conto: chiama $phi$ un generico automorfismo di G e $gamma_g$ l'automorfismo di $G$ che manda $x$ in $g^{-1}xg$. Dato $x in G$ a cosa è uguale \( \displaystyle (\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x) \) ?
Ci provo.
\( \displaystyle (\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x)=\phi^{-1} \gamma_g (\phi(x))=\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g) \)
Per le proprietà degli omomorfismi di gruppi l'inverso dell'immagine è l'immagine dell'inverso.
\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1}) \)
L'inverso di un prodotto è $(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)$. Inoltre, uso la proprietà associativa:
\( \displaystyle \phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})=\phi((\phi(x)g)^{-1}g)=\phi(g^{-1}\phi^{-1}(x)g)=\phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g) \)
dove si è usato il fatto che $\phi$ è un morfismo.
Ma \( \displaystyle \phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g)=\gamma_{\phi(g)} \) e quindi è un automorfismo interno.
Ok?
GRAZIE mille.
"Immaginate un bravo matematico come qualcuno che ha preso dal tenente Colombo per le doti investigative, da Baudelaire per l’ispirazione, dal montatore Faussone per il rigore e l’amore per “le cose ben fatte”, da Ulisse per la curiosità, l’ardimento e l’insaziabilità di conoscenza." (AC)