Automorfismi interni

[Paolo90]

Buonasera a tutti.

Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.

Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).

Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....

Grazie in anticipo.

[dissonance]

La so, la so!!! Ma non te lo dico.
Invece, ti passo un link: http://www.jmilne.org/math/ ; vai a "Course Notes", "Group Theory" e scaricati la dispensa che ne vale la pena. Poi nell'indice clicca su "Automorphisms of groups", è nel terzo capitolo. La prima pagina del paragrafo contiene esattamente tutto ciò che ti serve.

[Martino]

Prova a fare il conto: chiama $phi$ un generico automorfismo di G e $gamma_g$ l'automorfismo di $G$ che manda $x$ in $g^{-1}xg$. Dato $x in G$ a cosa è uguale \( \displaystyle (\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x) \) ?
Questo per la normalità.

Poi $I(G)$ è sottogruppo perché \( \displaystyle \gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{h^{-1}g} \) e \( \displaystyle \gamma_1=1 \) .

[Paolo90]

Anzitutto grazie mille a dissonance per lo stupendo link (quanta roba! Grazie mille, sei sempre un grande).

In secondo luogo, vediamo se ho capito: provo a rispondere alla domanda di Martino:

Prova a fare il conto: chiama $phi$ un generico automorfismo di G e $gamma_g$ l'automorfismo di $G$ che manda $x$ in $g^{-1}xg$. Dato $x in G$ a cosa è uguale \( \displaystyle (\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x) \) ?

Ci provo.

\( \displaystyle (\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x)=\phi^{-1} \gamma_g (\phi(x))=\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g) \)

Per le proprietà degli omomorfismi di gruppi l'inverso dell'immagine è l'immagine dell'inverso.

\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1}) \)

L'inverso di un prodotto è $(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)$. Inoltre, uso la proprietà associativa:

\( \displaystyle \phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})=\phi((\phi(x)g)^{-1}g)=\phi(g^{-1}\phi^{-1}(x)g)=\phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g) \)

dove si è usato il fatto che $\phi$ è un morfismo.

Ma \( \displaystyle \phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g)=\gamma_{\phi(g)} \) e quindi è un automorfismo interno.

Ok?

GRAZIE mille.

[Martino]

\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1}) \)

Questo non va bene. Non è vero in generale che $phi^{-1}(x) = phi(x)^{-1}$. Infatti supponendolo vero e scrivendo $x=phi(y)$ otterremmo $phi(phi(y))=y^{-1}$, il che è falso in generale.

Ma quel passaggio in realtà non ti serve!
Sei molto vicino alla soluzione.

[Paolo90]

\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1}) \)

Questo non va bene. Non è vero in generale che $phi^{-1}(x) = phi(x)^{-1}$. Infatti supponendolo vero e scrivendo $x=phi(y)$ otterremmo $phi(phi(y))=y^{-1}$, il che è falso in generale.

Scusami, è vero, ho fatto confusione.

Ma quel passaggio in realtà non ti serve!
Sei molto vicino alla soluzione.

E' vero, sono stato proprio cieco! La soluzione è lì.
\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi^{-1} (g^{-1})\cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=[\phi^{-1} (g)]^{-1} \cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=\gamma_{\phi^{-1}(g)} \)

dove ho applicato la definizione di omomorfismo e (spero correttamente) la proprietà che menzionavo sopra. Così va bene?
Grazie.

[Martino]

\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi^{-1} (g^{-1})\cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=[\phi^{-1} (g)]^{-1} \cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=\gamma_{\phi(g)} \)

Direi piuttosto che risulta \( \displaystyle \gamma_{\phi^{-1}(g)} \) .
Visto? Non era difficile

[Paolo90]

\( \displaystyle \phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi^{-1} (g^{-1})\cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=[\phi^{-1} (g)]^{-1} \cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=\gamma_{\phi(g)} \)

Direi piuttosto che risulta \( \displaystyle \gamma_{\phi^{-1}(g)} \) .
Visto? Non era difficile

Sì, scusami, è stata una svista, ora correggo.
Grazie.

Mi viene però un'altra curiosità relativa a questo argomento.
La definizione di sottogruppo normale qual è?

Supponiamo io dica: definisco $H$ normale in $G$ se per ogni $x in G$ si ha $xH=Hx$ cioè i laterali destri sono uguali a quelli sinistri. Però questa storia del coniugio ce l'ho poco chiara. Se non ho capito male, vale $H " normale " iff x^-1Hx =H $ per ogni $x in G$.

Assumo dunque come definizione quella che riguarda i laterali e voglio dimostrare questa equivalenza.

Una direzione è banale: se $H$ è normale in $G$, per definizione ho per $x in G$ $xH=Hx$, da cui moltiplicando per l'inverso $H=x^-1Hx$.
Analogamente per l'altra direzione.

Ma è corretto?

Ti ringrazio molto.

[Martino]

Ma è corretto?

E perché non dovrebbe esserlo?

Invece è leggermente più difficile mostrare l'equivalenza tra

1) $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$;
2) $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$.

Ma proprio leggerissimamente

[Paolo90]

Ma è corretto?

E perché non dovrebbe esserlo?

Wow. Evvai! Grazie capo!

Invece è leggermente più difficile mostrare l'equivalenza tra

1) $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$;
2) $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$.

Ma proprio leggerissimamente

Ci provo.

Supponiamo sia $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$; per ciò che abbiamo detto sopra abbiamo che da ciò segue $Hg=gH$, l'uguaglianza va intesa tra laterali.
Questo significa che esistono, in $H$, $h_1$ e $h_2$ tali che $h_1g=gh_2$. Moltiplicando ho $g^-1h_1g=h_2 in H$ che è quanto si voleva mostrare.

Per il viceversa dovrebbe essere sufficiente leggere al contrario la dimostrazione appena data.

Che dici?
Grazie mille!