Autovalori ed autospazi.

[kevinpirola]

Ciao a tutti, ho qualche problema a seguire la spiegazione del libro su questo esempio:

Esercizio:

L(x,y,z) = \( \displaystyle {\left({2}{x}+{2}{y}+{z},{x}+{3}{y}+{z},{x}+{2}{y}+{2}{x}\right)} \)
Verificare che 1 e 5 sono autovalori e determinare gli autospazi ad essi relativi.

Determinare che sono autovalori è un giochetto, il rango di \( \displaystyle A - \lambda I_3 \) dove A è la matrice associata all'applicazione lineare \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{2}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{1}\\{1}&{2}&{2}}\right)} \) è minore di 3 perciò sono autovalori.

Ora però devo calcolare gli autospazi. Il libro dice:

Le soluzioni del sistema \( \displaystyle {\left({A}-{I}_{{3}}\right)}{X}={O} \) individuano le coordinate dei vettori di \( \displaystyle {V}_{{1}} \) rispetto ad \( \displaystyle {E}_{{3}} \) e dunque, per le note proprietà di \( \displaystyle {E}_{{3}} \), i vettori stessi di \( \displaystyle {V}_{{1}} \):

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{1}\\{1}&{2}&{1}\\{1}&{2}&{1}}\right)}{X}={O} \)

Pertanto \( \displaystyle {V}_{{1}}=\lt{\left({2},-{1},{0}\right)},{\left({1},{0},-{1}\right)}\gt \).

Non mi è chiaro come risolva il sistema (A-I)X = O

Mi aiutate?

[StefanoViareggio]

Mi pare che il sistema sia:
(A-KI)X=0 dove K è un autovalore

Nel tuo sistema manca l'autovalore

[kevinpirola]

In realtà l'esercizio specifica che il primo dei due autovalori è 1 quindi, si osservazione precisa hai ragione, però io l'avevo già tenuto conto "togliendolo", il secondo sistema ovviamente risulta \( \displaystyle {\left({A}-{5}{I}_{{3}}\right)}{X}={O} \)

[StefanoViareggio]

X appartiene ad R^3 quindi è una colonna, svolgi il prodotto tra la matrice e la colonna X. Poni il risultato uguale a zero e consideri riga per riga.

ad esempio ti verrà:(uso a,b,c al posto delle x)
a+2b+c=0 e da li risolvi e ti verrà un autospazio di dimensione 2

[kevinpirola]

ma ogni valore della colonna X quanto vale? Lo devo porre uguale ad esempio a x1, x2, x3 ?
E poi fare i conti in 3 incognite?

[StefanoViareggio]

Ogni elemento della colonna X (x1,x2,x3) è un incognita,come fa ad avere un valore...
Svolgi il prodotto matrice colonna poi consideri ogni riga della matrice e la poni uguale a zero
Alla fine ti verrà cosi
a+2b+c=0
a+2b+c=0
a+2b+c=0

Ovviamente ne prendi una sola e da li ti ricavi una incognita (a,b,c) ed ecco che trovi una spazio vettoriale di dimensione 2

[kevinpirola]

Grazie per la risposta, guardando il sistema però è difficile arrivare a due valori, io sono giunto alla conclusione che, sapendo che l'autovalore ha molteplicità algebrica 2, vuol dire che la base dell'autospazio sarà formata da due vettori. Perciò trovo "empiricamente" (leggasi: a culo) due soluzioni e controllo che siano linearmente indipendenti. Se lo sono allora ho trovato la soluzione del sistema, se non lo sono allora cerco altre soluzioni.

Il problema nascerebbe però con matrici di rango maggiore e autovalori con molteplicità maggiori...

c'è un metodo analitico per giungere ad una coppia di terne di valori che si possa dire "si, sono questi" e stop ?

[StefanoViareggio]

é difficile arrivare a due valori?

ecco la forma dell' autovettore:

-2b-c
b
c

Per ogni b,c appartenenti al R. Due parametri indipendenti=> dimensione del sottospazio 2
a molteplicità algebrica del autovettore 1 è 2 come quella geometrica

Ti è chiaro?