basi ortogonali e ortonormali

[Alessandro.fiore]

Ciao a tutti il mio esame di geometria si avvicina e sempre molti più dubbi mi attanagliano, ora ho questo problema, io ho applicato quello che ho studiato solo che non mi torna qualcosa
data: b=((x,y,z,);(x',y',z'))=\( \displaystyle {\left(\times'+{x}{y}'+{y}{x}'+{4}{y}{y}'-{y}{z}'-{z}{y}'+{2}{z}{z}'\right)} \)
1-Verificare che b è un prodotto scalare
2-Trovare una base ortogonale e successivamente ortonormale relativa a b.
Potete darmi una mano? io ho provato a farlo però vorrei averne la certezza..
Grazie a tutti!!!

[Alessandro.fiore]

Scausate se ho ripetuto 2 volte il messaggio è stato un problema con la connessione..

[mistake89]

Scrivi come lo hai svolto e vediamo se va bene o in caso contrario lo correggiamo!

[Alessandro.fiore]

allora ho verificato che è un prodotto scalare, cioè i minori nord-ovest della matrice associata hanno tutti determinanti positivi;
poi ho trovato una base di b, io ho trovato come base \( \displaystyle {B}={\left({\left({1};{0};{0}\right)};{\left(-{1};{1};{0}\right)};{\left(-{1};{1};{3}\right)}\right)} \) poi mi sono bloccato..Potrei applicare il processo di ortogonalizzazione di Gram-Smidth però secondo me è sbagliata la base che ho trovato...

[mistake89]

Mmm cosa significa una base di \( \displaystyle {b} \)... \( \displaystyle {b} \) è un'applicazione, la base è dello spazio vettoriale \( \displaystyle {V} \), in questo caso \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \), quindi potresti benissimo prendere la base canonica di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) ed applicare Gram-Schmidt

[Alessandro.fiore]

Scusa ho sbagliato a scrivere quella scritta sopra è una base che ho trovato diagonalizzando la mia applicazione..quindi tu mi consiglieresti di prendere in considerazione la base canonica? ma le basi canoniche non sono 2 a 2 ortogonali? ho dubbi che prima non avevo... forse è la tensione.. comunque la base che io ho trovato va bene? o ho sbagliato il concetto di fondo?

[mistake89]

Calma
Se quella base l'hai ottenuta dal processo di diagonalizzazione allora è una base ortogonale. Fine dell'esercizio.
Un altro modo equivalente per procedere, solo nel caso in cui \( \displaystyle {b} \) sia un prodotto scalare, è usare Gram-Schmidt...

Quanto all'altro dubbio. Anzitutto ti consiglio di usare una terminologia un pò più precisa, non è pignoleria, anche in vista dell'esame, aiuta a farsi comprendere meglio. Le basi canoniche non sono a due a due ortogonali... non è una frase che ha senso. Se invece volevi intendere i vettori della base canonica non sono a due a due ortogonali? Allora la risposta è sì, rispetto al prodotto scalare standard... anzi ortonormali.
Mentre rispetto ad un altro prodotto scalare, dipende, non si può dir nulla.

[Alessandro.fiore]

senti una cosa che metodo di diagonalizzazione usi? io ne conosco uno, il metodo di gauss-lagrange, però vorrei sapere se ne esistono degli altri

[mistake89]

Io ne uso uno di cui non conosco il nome, che si basa sui vettori non isotropi e la somma diretta... ma se hai l'esame a breve, ti consiglio di non stravolgere i tuoi metodi.

[Alessandro.fiore]

anche se effettivamente il metodo che uso io sembrerebbe più semplice..senti mistake89 un altra cosa io ho un endomorfismo definito così:
\( \displaystyle {f{{\left({c}{1}+{c}{2}\right)}}}={2}{c}{1}+{2}{c}{2} \)
\( \displaystyle {f{{\left({c}{1}-{c}{3}\right)}}}={2}{c}{1}-{2}{c}{3} \)
\( \displaystyle {f{{\left({c}{1}+{c}{2}+{c}{3}\right)}}}={c}{2}+{c}{3} \)
mi chiede di verificare se f è diagonalizzabile.
il mio problema è che so muovermi e lavorare quando ho le applicazioni ben definite, in questo caso no e non riesco a trovare la mia funzioni..sapresti darmi una mano?