Biforcazione dell'equilibrio.

[orazioster]

Sto considerando una trave rettilinea di lunghezza \( \displaystyle {2}{l} \), in compressione
con carico \( \displaystyle \lambda \).

Considero la terna di riferimento:
\( \displaystyle {\hat{{k}}} \) parallelo all'asse della trave;
\( \displaystyle {\hat{{i}}} \)"entrante";
\( \displaystyle {\hat{{j}}} \) perciò "verso l'alto"
(scusate le definizioni -ma mi rifaccio
all'ordinaria nostra percezione -ed a che cosa dovrei?)

E l'origine nell'estremo, che chiamo \( \displaystyle {A} \) della trave.

In \( \displaystyle {A} \) ho un vincolo di cerniera.
All'altro estremo, che chiamo \( \displaystyle {B} \) ho un glifo che consenta traslazioni lungo \( \displaystyle {\hat{{k}}} \).

Nel suo punto medio \( \displaystyle {M} \) la trave è vincolata con
una molla estensionale che esplica reazione parallela a \( \displaystyle {j} \).

Considerare il carico critico.

Io approccio queste situazioni con il metodo "energetico-variazionale":
considero l'energia potenziale elastica del sistema, e pongo
la sua variazione prima uguale a zero.

Non mi interessa sapere se l'equilibrio sia stabile, instabile o indifferente.
Ma che non esista, per un certo carico, una sola
configurazione di equilibrio.

Infatti ottengo una equazione differenziale che, integrata, mi
dà la funzione di traslazione; e questa
ha da soddisfare le condizioni
a contorno.

Ora, se per un certo valore del carico (che posso considerare come parametro) il sistema lineare delle equazioni di condizioni al contorno non ammette un'unica soluzione, quel carico è critico, e la trave elastica "svergola", come si dice.

Per esempio: considerando
ora la trave suddetta, SENZA la molla in \( \displaystyle {M} \).

\( \displaystyle ^{\left({e}{l}.\right)}{P}={\int_{{{0}}}^{{{2}{l}}}}{\left\lbrace{E}{I}\frac{{{\left[{v}{''}\right]}}^{{2}}}{{2}}-\lambda\frac{{{\left[{v}'\right]}}^{{2}}}{{2}}\right\rbrace}\text{d}{z}; \)
\( \displaystyle ;{\delta}^{{{e}{l}.}}{P}={\int_{{{0}}}^{{{2}{l}}}}{\left\lbrace{E}{I}{v}{''}\delta{v}{''}-\lambda{v}'\delta{v}'\right\rbrace}\text{d}{z}={0} \), dove:
\( \displaystyle {v} \) è la traslazione di un punti lungo \( \displaystyle {\hat{{j}}} \); e, per ipotesi, \( \displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}}{z}\equiv{v}'=-\theta \), ove \( \displaystyle \thetaè{l}{a}{c}{u}{r}{v}{a}{t}{u}{r}{a}{l}{o}{c}{a}\le\partial{l}'{a}{s}{s}{e}{d}{e}{f{{\quad\text{or}\quad}}}{m}{a}\to.\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)EI[v'']^2/2\( \displaystyle è{l}'{e}\ne{r}{g{{i}}}{a}{p}{o}{t}{e}{n}{z}{i}{a}\le\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{e}{l}{a}{s}{t}{i}{c}{a}\partial{m}{o}{m}{e}{n}\to\int{e}{r}{n}{o};\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)\lambda(1-cos\theta)~~\lambda\theta^2/2=\lambda[v']^2/2\( \displaystyle {i}{l}{l}{a}{v}{\quad\text{or}\quad}{o}{e}\le{m}{e}{n}{t}{a}{r}{e}\partial\le{f{{\quad\text{or}\quad}}}{z}{e}{e}{s}{t}{e}{r}\ne.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{I}{n}{t}{e}{g{{r}}}{\quad\text{and}\quad}{o}{p}{e}{r}{p}{a}{r}{t}{i},{e}{c}{o}{n}{s}{i}{d}{e}{r}{\quad\text{and}\quad}{o}{c}{h}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{c}{i}ò{v}{a}{l}{g{{a}}}{p}{e}{r}{o}{g{{n}}}{i}{t}{r}{a}{\mathtt{{o}}}, \)\deltav'\( \displaystyle , \)\deltav\( \displaystyle ,\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{o}{\mathtt{{e}}}{n}{g{{o}}}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)[EIv'']_0^(2l)=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)[EIv'''+\lambdav']_0^(2l)=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)EIv^(IV)+\lambdav''=0$.

Il mio punto è: nel caso in esame, come
"faccio rientrare" la reazione della molla? -perchè
il suo lavoro (o, in alternativa, variazione di energia potenziale -mi resta "fuori" dall'integrale finale -equazione differenziale)

(!) ora devo proprio andare: c'è un esame in quest'aula.

La mia idea è che ci entrasse con
l'equazione differenziale, come condizione al contorno.

[orazioster]

Risposta trovata!

Bisognava scomporre la trave nei due tratti, ed impostare
due equazioni differenziali.
L'influenza di \( \displaystyle {k} \) si evidenziava nelle condizioni al contorno.
Bye.