Bilia sul biliardo - SNS 1971

[elios]

"Una bilia si trova su un biliardo in una posizione P. Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la bilia in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
(Si consideri il biliardo privo di attrito e che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce)"

Non so come iniziare a pensare di risolvere questo esercizio. Qualcuno può aiutarmi e suggerirmi quale deve essere il mio approccio e il ragionamento che devo fare? Grazie mille.

[VINX89]

Caso banale: dentro la buca!!
Scherzo, non saprei...secondo me converrebbe utilizzare un procedimento per assurdo, supponendo che non esistano tali direzioni...

[elios]

Ahah, bella battuta! =)
Sì, ho pensato al ragionamento per assurdo, ma mi sembra complicato quanto lo stesso problema. Ipotizziamo per assurdo che tale direzione non esista, cioé che, qualunque sia la direzione verso cui lancio la palla, essa ripasserà sempre per la posizione di partenza P. Come faccio a tirar fuori un'assurdità da questo ragionamento? La palla potrebbe ripassare per P anche dopo un tempo infinitamente lungo e dopo moltissimi urti con la parete da gioco.. Come posso dimostrare che questo non potrebbe accadere?

[dissonance]

Io penserei al fatto che ci sono "più" numeri reali che razionali. Mi spiego:

(scusami, il disegno è veramente brutto )
Se fissi due assi cartesiani come in figura, la direzione è individuata completamente dall'angolo \( \displaystyle {a} \).
Ora i punti di ascissa \( \displaystyle {0} \) (in figura ne ho segnato i primi quattro in rosso) hanno per ordinata un multiplo razionale di \( \displaystyle {\sin{{a}}} \) che può tranquillamente essere un numero irrazionale. Giocando su questo secondo me si riesce a concludere che, se una direzione come nella traccia non esistesse, allora ogni per ogni \( \displaystyle {\sin{{a}}} \) irrazionale esiste un numero razionale \( \displaystyle \frac{{p}}{{q}}\ne{0} \) tale che \( \displaystyle \frac{{p}}{{q}}\cdot{\sin{{a}}} \) è razionale. E questo è assurdo, se \( \displaystyle {\sin{{a}}} \) è irrazionale hai voglia a moltiplicare per \( \displaystyle \frac{{p}}{{q}} \), sempre irrazionale rimane.

N.B.: E' solo un'idea. Molto interessante questo esercizio, comunque.

[elios]

Prima domanda: perché l'ordinata di quei punti è un multiplo razionale di \( \displaystyle {\sin{{a}}} \)?

(grazie del disegno!)

[dissonance]

(Nota: non l'ho detto, ho supposto che l'unità di misura sia la distanza di \( \displaystyle {P} \) dalla sponda destra del biliardo. Così se \( \displaystyle {a} \) è come nel disegno, la bilia urta la sponda destra con ordinata \( \displaystyle {\sin{{a}}} \)).

Hai ragione, qualcosa non va. Quanto ho detto vale finché la palla non rimbalza sulla sponda superiore, poi bisogna raffinare il discorso.

[elios]

L'unità di misura non è la distanza di P dalla sponda destra del biliardo, altrimenti non può avere ordinata \( \displaystyle {\sin{{a}}} \) quando urta.. L'unità di misura sembra essere la lunghezza del segmento PH, con H il punto in cui tocca la sponda destra.. no?

[dissonance]

L'unità di misura sembra essere la lunghezza del segmento PH, con H il punto in cui tocca la sponda destra.. no?

Certo, un altro errore mio. Comunque la cosa più grave non è questa ma il fatto che non necessariamente le ordinate sono multipli razionali di \( \displaystyle {\sin{{a}}} \).

[WiZaRd]

Ho letto la soluzione sul libro di Conti e Profeti, non è affatto semplice, almeno per le mie capacità.

[dissonance]

Credo che l'idea di ieri possa funzionare nel caso MOLTO particolare in cui il tavolo sia quadrato e la bilia parta esattamente dal centro. Tutto starebbe poi a trovare una buona generalizzazione usando opportune trasformazioni geometriche:

Nel disegno è rappresentato il tavolo (il quadrato più in basso) e delle sue copie speculari ottenute per riflessione di asse il lato superiore. Idealmente le copie si ripetono infinite volte verso l'alto. La bilia parte dal punto \( \displaystyle {P}_{{0}} \) muovendosi lungo la direzione del primo segmento in rosso. Fissiamo un sistema di assi cartesiani centrati nel punto \( \displaystyle {P}_{{0}} \) e disposti ortogonalmente al tavolo. Fissiamo una unità di misura pari a metà lato del tavolo (il tavolo ha lato 2). Supponiamo infine che l'angolo \( \displaystyle {a} \) in figura sia \( \displaystyle {0}\lt{a}\lt\frac{\pi}{{4}} \).

Per come è assegnata la legge del moto, la bilia ripasserà dal punto di partenza se e solo se la poligonale in rosso intercetta uno dei punti \( \displaystyle {P}_{{n}} \) [1]: indicando con \( \displaystyle {Q}_{{m}} \) le intersezioni della poligonale con l'asse delle \( \displaystyle {y} \), possiamo dire che:
(la bilia torna al punto di partenza) \( \displaystyle \Leftrightarrow \) (\( \displaystyle {P}_{{n}}\equiv{Q}_{{m}} \) per qualche \( \displaystyle {n},{m} \) interi).
E' facile trovare coordinate cartesiane dei punti \( \displaystyle {P}_{{n}},{Q}_{{m}} \): infatti \( \displaystyle {P}_{{n}}\equiv{\left({0},{n}\right)},{Q}_{{m}}\equiv{\left({0},{\left({m}+{2}\right)}{\tan{{a}}}\right)} \). La condizione \( \displaystyle {P}_{{n}}\equiv{Q}_{{m}} \) diventa allora \( \displaystyle \frac{{n}}{{{m}+{2}}}={\tan{{a}}} \). Il primo membro è sempre razionale mentre il secondo può tranquillamente non esserlo: segue la tesi.

P.S.: E' tutto molto rozzo: intanto bisognerebbe giustificare a modo l'affermazione [1], ma soprattutto resta da trovare una generalizzazione al caso di un tavolo rettangolare con \( \displaystyle {P}_{{0}} \) qualunque. Il problema non è il tavolo rettangolare: risolto il problema sul tavolo quadrato, basta applicare una dilatazione. Quindi resta da generalizzare al caso di \( \displaystyle {P}_{{0}} \) discosto dal centro di simmetria.