Brainstorming: orientabilità di una varietà?

[maurer]

Mi piacerebbe sentire i vostri pareri. Voi come definite (o come vi hanno definito) l'orientabilità di una varietà topologica? E di una varietà differenziabile di classe \( \displaystyle k \ge 1 \) ?

A voi la parola!

[maxsiviero]

Se non ricordo male la definizione del Sernesi, si dice che una varietà differenziabile è orientabile se possiede un atlante massimale le cui funzioni di transizione hanno Jacobian positivo.

[dissonance]

Uuh, come sai ci sono una quantità di definizioni diverse (parlo del caso differenziabile) e mi ci sono incartato su a lungo.

Quella solita riguarda le carte: una varietà è orientabile se esiste un atlante tale che i determinanti delle mappe di transizione hanno tutti lo stesso segno. Operativamente comoda ma mai capita appieno.

Sennò leggevo su Spivak una definizione di orientabilità di un fibrato vettoriale, generalizzazione dell'analoga nozione per gli spazi vettoriali (come tutto, in fondo). Allora una varietà è detta orientabile quando è orientabile il fibrato tangente, cioè se si può trovare una orientazione su ciascuna fibra in modo "consistente". Questo è geometricamente più chiaro e sufficientemente generale, peccato che il libro non sia molto esplicito su questo aggettivo: lo spiega, si, ma in modo non felice (IMHO)

Sennò c'è la definizione con le \(n\)-forme, che è interessante, ma non riesco a trarne il massimo significato perché parla di concetti che non conosco - specialmente è collegata all'integrazione sulle varietà, che non ho mai studiato.

Insomma, è un concetto che mi sfugge un po', nonostante ci abbia battuto la testa contro. Per il momento ho rinunciato e mi sto concentrando su altro, ma prima o poi arriveremo alla resa dei conti.

[dissonance]

Ah e ce n'era pure un'altra, relativa alle superfici in \(\mathbb{R}^3\): una superficie regolare (i.e. una sottovarietà di \(\mathbb{R}^3\) di dimensione 2) è orientabile se esiste su di essa un campo di vettori di \(\mathbb{R}^3\) ad essa normali mai nullo. (Si intende che il campo è differenziabile, nel senso che coincide sulla superficie con la restrizione di un campo vettoriale globale di \(\mathbb{R}^3\)).

Tale definizione è certamente Intuitiva ed è la versione \(n=2\) della definizione con le \(n\)-forme che dicevo prima (in un certo senso che non ho ancora compreso appieno). Però non è certo quella di massima generalità.

[maurer]

Uuh, come sai ci sono una quantità di definizioni diverse (parlo del caso differenziabile) e mi ci sono incartato su a lungo.

Bene, siamo in due. Spero che da questo thread nasca una conversazione utile ad entrambi.

Se non ricordo male la definizione del Sernesi, si dice che una varietà differenziabile è orientabile se possiede un atlante massimale le cui funzioni di transizione hanno Jacobian positivo.

Quella solita riguarda le carte: una varietà è orientabile se esiste un atlante tale che i determinanti delle mappe di transizione hanno tutti lo stesso segno. Operativamente comoda ma mai capita appieno.

Concordo con dissonance. Facile da applicare, ma oscura. L'orientabilità è una questione globale, ragionare in locale annebbia la mente in questo caso.

Sennò leggevo su Spivak una definizione di orientabilità di un fibrato vettoriale, in sostanza generalizzazione dell'analoga nozione per gli spazi vettoriali (come tutto, in fondo). Allora una varietà è detta orientabile quando è orientabile il fibrato tangente, cioè se si può trovare una orientazione su ciascuna fibra in modo "consistente". Questo è geometricamente più chiaro e sufficientemente generale, peccato che il libro non sia molto esplicito su questo aggettivo: lo spiega, si, ma in modo non felice (IMHO)

Più avanti voglio tornare sull'aggettivo consistente.

Sennò c'è la definizione con le \( \displaystyle n \) -forme, che è interessante, ma non riesco a trarne il massimo significato perché parla di concetti che non conosco - specialmente è collegata all'integrazione sulle varietà, che non ho mai studiato.

Ecco ci avviciniamo già di più a quella che piace a me!

Ma non avete ancora risposto alla domanda a cui invece tenevo di più: come definire l'orientabilità di una varietà topologica??

[dissonance]

Ma non avete ancora risposto alla domanda a cui invece tenevo di più: come definire l'orientabilità di una varietà topologica??

Boh. A dire il vero non pensavo fosse possibile... Ho sempre ritenuto l'orientabilità una proprietà differenziale e non solo topologica.

[maurer]

Voglio fare un'ultima domanda, poi proporrò la mia risposta. Quante sono le orientazioni possibili?

[dissonance]

Due. Oppure la varietà non è orientabile.

[Zilpha]

La più intuitiva resta la definizione di orientabilità di una varietà topologica di dimensione 2, no?
- una superficie è orientabile se esiste la possibilità di trasportare lungo ogni suo percorso chiuso un intorno con una fissata orientazione senza che questa cambi una volta tornati al punto di partenza;
- una superficie è orientabile se non contiene l'immagine omeomorfa di un nastro di Moebius.
Oltre questo non ho le idee chiare nemmeno io

[Zilpha]

Qual è la definizione con le n-forme? ragazzi sono proprio indietro