Caccia alla funzione!

[zorn]

Intervengo solo per complimentarmi con Rubik per l'inventiva

[Piera]

Va bene, si può anche rendere nulla la funzione da un certo punto in poi.
Anch'io mi complimento con rubik!

Per inventare quest'esercizio mi sono avvalso del risultato:
\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}\frac{{{s}{e}{n}{x}}}{{x}}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{0}}^{{+\infty}}}\frac{{{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}}}{{{x}}^{{2}}}{\left.{d}{x}\right.} \).
Infatti, integrando per parti si ha
\( \displaystyle \int\frac{{{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}}}{{{x}}^{{2}}}{\left.{d}{x}\right.}=-\frac{{{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}}}{{x}}+\int\frac{{{s}{e}{n}{2}{x}}}{{x}}{\left.{d}{x}\right.} \), da cui
\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}\frac{{{s}{e}{{n}}^{{2}}{x}}}{{{x}}^{{2}}}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{0}}^{{+\infty}}}\frac{{{s}{e}{n}{2}{x}}}{{x}}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{0}}^{{+\infty}}}\frac{{{s}{e}{n}{t}}}{{t}}{\left.{d}{t}\right.} \),
nell'ultimo passaggio ho eseguito la sostituzione \( \displaystyle {2}{x}={t} \).
Utilizzando l'analisi complessa si può anche calcolare il valore dell'integrale:
\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}\frac{{{s}{e}{n}{x}}}{{x}}{\left.{d}{x}\right.}=\frac{\pi}{{2}} \).

[Fioravante Patrone]

Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione \( \displaystyle {f{:}}\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) non identicamente nulla tale che \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}{f{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{0}}^{{+\infty}}}{{\left[{f{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}\lt\infty \).

prendo \( \displaystyle {f{=}}{1} \) fra \( \displaystyle {n} \) e \( \displaystyle {n}+\frac{{1}}{{{{n}}^{{2007}}}} \), il resto zero

mi pare funga

[WiZaRd]

\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}{f{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.}\lt\infty \).

Perdonate la mia ignoranza: una scrittura di questo tipo cosa significa?

[Piera]

In effetti, così com'è scritto l'esercizio è banale.
Comunque, mi preme precisare il fatto che esistono delle funzioni non nulle da un certo punto in poi che verificano la suddetta relazione.

[Piera]

@WiZaRd
significa che il valore dell'integrale è finito, cioè l'integrale converge.

[WiZaRd]

Grazie.

[rubik]

grazie per i complimenti