Caccia alla funzione!

[Piera]

Determinare una funzione \( \displaystyle {f{:}}\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) CONTINUA e NON LIMITATA su \( \displaystyle {\left[{0},+\infty\right)} \) tale che \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}{f{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.}\lt\infty \).

[clrscr]

Potrebbe essere \( \displaystyle {{e}}^{{-{x}}} \) ?

[Piera]

Scusate, intendevo continua e non limitata su \( \displaystyle {\left[{0},+\infty\right)} \). Ora correggo!

[Camillo]

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={0} \),per \( \displaystyle {x}={0} \)
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}=\frac{{1}}{\sqrt{{{x}}}} \) per \( \displaystyle {0}\lt{x}\le{1} \)

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}=\frac{{1}}{{{x}}^{{2}}} \) per \( \displaystyle {x}\gt{1} \)

Edit : azz, non va bene , non è continua in \( \displaystyle {x}={0} \)

[rubik]

la funzione fatta dei triangolini costruiti su \( \displaystyle {n}\ge{2} \) come nel disegno e zero da tutte le altre parti. l'integrale viene la serie di \( \displaystyle \frac{{1}}{{{n}}^{{2}}} \) che converge.

spero sia chiaro e giusto

[Piera]

Gran bella idea!
Io, invece, avevo pensato alla seguente funzione:
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={2}{x}\cdot{s}{e}{n}{{x}}^{{4}} \).
La funzione è non limitata e continua.
Inoltre, eseguento la sostituzione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}={t} \), \( \displaystyle {2}{x}{\left.{d}{x}\right.}={\left.{d}{t}\right.} \), si ha
\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}{2}{x}\cdot{s}{e}{n}{{x}}^{{4}}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{0}}^{{+\infty}}}{s}{e}{n}{{t}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.}\lt\infty \) dato che è l'integrale di Fresnel.

Da notare come la mia funzione e quella di rubik siano integrabili senza essere infinitesime per \( \displaystyle {x}\to+\infty \) (il limite di entrambe non esiste).
E' facile dimostrare che se \( \displaystyle \lim_{{{x}\to+\infty}}{f{{\left({x}\right)}}} \) esiste allora per la convergenza di \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}{f{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.} \) è necessario che \( \displaystyle \lim_{{{x}\to+\infty}}{f{{\left({x}\right)}}}={0} \), mentre se il limite non esiste nulla può dirsi.

[Piera]

Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione \( \displaystyle {f{:}}\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) non identicamente nulla tale che \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{+\infty}}}{f{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{0}}^{{+\infty}}}{{\left[{f{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}\lt\infty \).

[Tipper]

Supponendo che converga (suppongo). In ogni caso basterebbe prendere la funzione identicamente nulla.

EDIT: ah ecco.

[Piera]

Già, aggiungo!

[rubik]

cerco di sfruttare l'idea di prima.

allora cerco \( \displaystyle {a}\in\mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{{a}}}}{k}{x}{d}{k}={\int_{{0}}^{{{a}}}}{{k}}^{{2}}{{x}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.} \) con \( \displaystyle {k}\in\mathbb{R} \) integrando trovo \( \displaystyle {a}=\frac{{2}}{{{3}{k}}} \)

sinceramente non so proprio come scrivere la funzione. l'idea comunque è di mettere uno dopo l'altro triangoli di questo tipo:

nel primo fissiamo \( \displaystyle {k}={1} \) nel secondo \( \displaystyle {k}={{2}}^{{2}} \) ... nell'n-esimo \( \displaystyle {k}={{n}}^{{2}} \)

per costruzione gli integrali di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) e \( \displaystyle {{\left[{f{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}} \) sono uguali e l'area di ogni triangolo è \( \displaystyle {2}{\int_{{0}}^{{{a}}}}{k}{x}{d}{k}=\frac{{4}}{{{9}{k}}} \) l'integrale fino a \( \displaystyle +\infty \) di f(x) è la somma delle aree dei triagoli e siccome \( \displaystyle {k}={1},{4},\ldots{{n}}^{{2}} \) abbiamo la serie di \( \displaystyle \frac{{4}}{{{9}{{n}}^{{2}}}} \) che converge.

non è che mi piace molto sta soluzione (ammesso che sia giusta) ma questo è quello che mi è venuto

spero (di nuovo) che sia chiaro e corretto attendo conferma!


edit: non so perchè mi sono impicciato tanto! in realtà basterebbe il primo di quei triangoli di cui parlavo sopra. così è più evidente il trucco di ridurre l'integrale da \( \displaystyle {\left({0},+\infty\right)} \) ad uno al finito rendendo nulla la funzione da un certo punto in poi. è una soluzione banale?

se non è considerata banale magari riscrivo tutto per rendere più comprensibile