[Teoria dei segnali]Calc energia e funzione autocorrelazione

[enigmista01]

Dovrei calcolare l'energia e funzione di autocorrelazione del seguente segnale \( \displaystyle {r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}-\frac{{1}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)} \)...

[luca.barletta]

Bene, hai fatto qualche tentativo? Dove ti blocchi?

[enigmista01]

Iniziamo con l'energia....
per il calcolo dell'energia abbiamo:
\( \displaystyle {\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}}{{\left|{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}-\frac{{1}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}\right|}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.} \)
ora il mio dubbio posso scindere il modulo in due moduli...no x la proprietà del modulo ma anche xchè c'è un modulo quadro...la rect dovrebbe sparire e modificare gli estremi di integrazione...

[folgore]

Iniziamo con l'energia....
per il calcolo dell'energia abbiamo:
\( \displaystyle {\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}}{{\left|{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}-\frac{{1}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}\right|}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.} \)
ora il mio dubbio posso scindere il modulo in due moduli...no x la proprietà del modulo ma anche xchè c'è un modulo quadro...la rect dovrebbe sparire e modificare gli estremi di integrazione...

Potresti innanzitutto chiamare il segnale \( \displaystyle {z}{\left({t}\right)}={r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}-\frac{{1}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)} \) ed esprimerlo come somma di due segnali \( \displaystyle {z}{\left({t}\right)}={x}{\left({t}\right)}+{y}{\left({t}\right)} \).Dopodichè per l'energia applicare la formula:
\( \displaystyle {E}_{{z}}={E}_{{x}}+{E}_{{y}}+{2}{E}_{{{x}{y}}} \)
e analogamente per l'autocorrelazione la formula:
\( \displaystyle {R}_{{z}}{\left(\tau\right)}={R}_{{x}}{\left(\tau\right)}+{R}_{{y}}{\left(\tau\right)}+{R}_{{{x}{y}}}{\left(\tau\right)}+{R}_{{{x}{y}}}{\left(-\tau\right)} \)
visto che sia \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)} \) che \( \displaystyle {y}{\left({t}\right)} \) sono segnali reali.

[enigmista01]

Quindi se ho capito bene in quanto segnale reale il modulo scomare mi rimane il quadrato e lo svolgo normalmente, poi divido l'integrale in tre parti e svolgo ogni singola parte...

[luca.barletta]

Quindi se ho capito bene in quanto segnale reale il modulo scomare mi rimane il quadrato e lo svolgo normalmente, poi divido l'integrale in tre parti e svolgo ogni singola parte...

Esatto

[folgore]

Quindi se ho capito bene in quanto segnale reale il modulo scomare mi rimane il quadrato e lo svolgo normalmente, poi divido l'integrale in tre parti e svolgo ogni singola parte...

Si facendo i calcoli analitici è lo sviluppo del quadrato:
\( \displaystyle {z}{\left({t}\right)}={\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}{{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}-\frac{{1}}{{2}}\cdot{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}\right)}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.} \) che restituisce proprio la formula che ti ho scritto.

[enigmista01]

Facendo i calcoli vengono tre integrali da risolvere...
1.\( \displaystyle {\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}\right)}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.}={\int_{{-\frac{{T}}{{2}}}}^{{\frac{{T}}{{2}}}}}{\left.{d}{t}\right.} \)
2.\( \displaystyle {\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}\right)}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.}={\int_{{{3}{T}-\frac{{T}}{{2}}}}^{{{3}{T}+\frac{{T}}{{2}}}}}{\left.{d}{t}\right.} \)
3.\( \displaystyle {\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \) qui ho pensato di disegnarmi le due rect sullo stesso grafico e poi di considerare solo la porzione di grafico dove si sovrappongono e in base a quella di scegliere gli estremi di integrazione....

[K.Lomax]

Dal momento che i segnali sono ortogonali (non si sovrappongono) il quadrato è semplicemente la somma dei quadrati.

[enigmista01]

Energia calcolata....ora si passa alla funzione di autocorrelazione...
\( \displaystyle {R}_{{x}}{\left(\tau\right)}={\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{x}{\left({t}\right)}{x}{\left({t}-\tau\right)}{\left.{d}{t}\right.} \)
quindi da questa formula ottengo:
\( \displaystyle {R}_{{x}}{\left(\tau\right)}={\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-\tau}}{{T}}\right)}\right)}{\left.{d}{t}\right.}+{\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{t}}{{T}}\right)}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{\left({3}{T}+\tau\right)}}}{{T}}\right)}\right)}{\left.{d}{t}\right.}-\frac{{1}}{{2}}{\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-\tau}}{{T}}\right)}\right)}{\left.{d}{t}\right.}+\frac{{1}}{{4}}{\int_{{-\infty}}^{{\infty}}}{\left({r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{3}{T}}}{{T}}\right)}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{{t}-{\left({3}{T}+\tau\right)}}}{{T}}\right)}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \)
penso sino a qui non ci siano errori...ora come si risolvono tali integrali?...