Calcolare, al variare del parametro alpha il limite

[Sagittarioromano]

Buon giorno,
mi potreste aiutare a capire come devo risolvere questo genere di esercizi :

Calcolare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \in R \), il valore del limite:

\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup2\log \lgroup\frac{2n^2+1}{2n^2}\rgroup}-sen\frac{1}{n^2}\rgroup \)

accompagnatemi passo passo se potete.

Io ho pensato che questo diventi

\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup\frac{e}{n^2}-sen\frac{1}{n^2}}\rgroup \)

poi? e soprattutto con \(\displaystyle \alpha \) come devo comportarmi?


grazie

[21zuclo]

il primo logaritmo ti diventa \(\displaystyle \log \left(1+\frac{1}{2n^2}\right) \)

quindi hai \(\displaystyle n^\alpha \left(2\log \left(1+\frac{1}{2n^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \)

ora dovresti essere in grado di svolgere..usando gli sviluppi di Mc Laurin de logaritmo e del seno! Prova

[Sagittarioromano]

ma Mc Laurin riguarda le serie?

[21zuclo]

non solo le serie anche i limiti

basta che \(\displaystyle x\rightarrow0 \)

per esempio..

lo sviluppo del logaritmo è \(\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+.....+(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^k) \)

quella \(\displaystyle x \) dentro al logartimo deve tendere a \(\displaystyle 0 \)

[Sagittarioromano]

21ziculo me lo potresti spiegare per favore? come ci sei arrivato? come ci arrivo? grazie mille

[55sarah]

l'utente 21zuclo ci è arrivato perchè o si ricorda lo sviluppo di McLaurin del logaritmo oppure è andato a vedere sulla tabella degli sviluppi!

Basta cercare via web la tabella degli sviluppi di Mc Laurin, puoi applicare Mc Laurin solo quando \(\displaystyle x\rightarrow0 \) ma NON che deve tendere a \(\displaystyle 0 \) il limite.. ma quello che c'è dentro al logaritmo!

Stessa cosa vale per \(\displaystyle \sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \)

qua in questo esercizio, invece di essere \(\displaystyle x\rightarrow0 \) è \(\displaystyle n\rightarrow0 \) STESSA ED IDENTICA COSA..

[Sagittarioromano]

mmm scusate veramente il disturbo, ma non l'ho mai fatto quindi non so come muovermi visto che ho altri esempio potreste impostarmelo un attimo poi cercherò di fare gli altri scusate

[55sarah]

Come non l'hai mai fatto?..al tuo corso di analisi matematica, non ti hanno detto che si chiamano Sviluppi di McLaurin (o Mac Laurin)

praticamente visto che questo è un limite di successione..devi usare gli sviluppi di successioni, che sono uguali agli sviluppi di Mc Laurin delle funzioni (le vedrai più avanti se non le hai ancora viste)..

[StefanoMDj]

magari hai fatto solo gli asintotici...che sono gli sviluppi di primo grado...ad esempio il seno ti diventerebbe semplicemente

\( \displaystyle {\sin{{\left(\frac{{1}}{{{x}}^{{2}}}\right)}}} \) (asintotico a) \( \displaystyle \frac{{1}}{{{x}}^{{2}}} \) per \( \displaystyle {x}\to\infty \)

[55sarah]

esatto! quello che dice StefanoMDj

è praticamente questo

\(\displaystyle \sin (e_n)\sim e_n \) per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \) e \(\displaystyle e_n\rightarrow0 \)