Calcolare la molteplicità geometrica di una matrice

[beck_s]

Mi serve ancora il vostro aiuto
Non riesco a calcolare la dimensione della molteplicità geometrica nel seguente esercizio.

Si dica per quali valori del parametro βє C la matrice \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&{1}&{1}&{0}\\{2}+&#{946};&-{1}-&#{946};&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{2}}\right)} \)
è diagonalizzabile e per quali valori reali di β essa è diagonalizzabile con una matrice reale.
Ho calcolato il polinomio caratteristico \( \displaystyle {{\left({2}-&#{955};\right)}}^{{2}}\cdot{\left(&#{955}{;}^{{2}}+&#{955};\cdot{\left({1}+&#{946};\right)}-{\left({2}+&#{946};\right)}\right)} \)
perchè la matrice sia diagonalizzabile deve avere molteplicità algebrica e goemetrica uguale per ogni autovalore.
L'autovalore \( \displaystyle &#{955};{1}={2} \) ha molteplicità algebrica 2, ma non riesco a calcolare la molteplicità geometrica.
So che devo calcolarmi lo spazio nullo della matrice \( \displaystyle {B}{2}={\left(\matrix{-{2}&{1}&{1}&{0}\\&#{946};&-{3}-&#{946};&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{0}}\right)} \)
ma ottengo una base con un unico vettore \( \displaystyle {v}={\left(\matrix{-{1}\\{1}\\-{3}\\{0}}\right)} \) che ha quindi dimensione 1 e non 2!!

Dove sbaglio?
ciao e grazie.

[mistake89]

il polinomio caratteristico deve essere interamente scomponibile... io partirei con determinare per quali valori di \( \displaystyle \beta \) il sistema ha soluzioni in \( \displaystyle \mathbb{R} \)

Edit: mi sa che il tuo polinomio caratteristico ha qualche errore... spero di non aver errato i calcoli.

[beck_s]

Non riesco proprio a risolverlo!! Il polinomio caratteristico è \( \displaystyle {{\left({2}-&#{955};\right)}}^{{2}}\cdot{\left(&#{955};-{1}\right)}\cdot{\left(&#{955};+{2}+&#{946};\right)} \) Quindi gli autovalori sono:\( \displaystyle &#{955};{1}={2}{m}.{a}.={2}&#{955};{2}=-{1}{m}.{a}.={1}&#{955};{3}=-{2}-&#{946};{m}.{a}={1} \)
Mi potete dare una mano? Come devo procedere ora per capire per quali valori di β la matrice è diagonalizzabile? Ho provato a calcolarela molteplicità geometrica, (a parte che non ci sono riuscito ma poi non saprei che farmene).
HELP!!! Che procedimento devo seguire?
ciao e grazie

[mistake89]

A me il polinomio caratteristico viene \( \displaystyle {{\left({2}-\lambda\right)}}^{{2}}{\left[{\lambda}^{{2}}+{\left({2}+\beta\right)}\lambda-{\left({2}+\beta\right)}\right]}={0} \)
Io partirei con il caso più restrittivo che è quello reale. Ricordandoci che il polinomio deve essere interamente scomponibile calcolo l'equazione di secondo grado nelle quadre ed impongo che il delta sia \( \displaystyle \ge{0} \) ottenendo così \( \displaystyle \beta\le-{6}{V}\beta\ge-{2} \). Quindi per i valori intermedi \( \displaystyle {f} \) non è diagonalizzabile in un \( \displaystyle \mathbb{R} \) spazio vettoriale.
A questo punto considero il caso \( \displaystyle \beta=-{2} \) ottengo così due radici \( \displaystyle \lambda_{{1}}={0} \) e \( \displaystyle \lambda_{{2}}={2} \). A te verificare la diagonalizzabilità.
se \( \displaystyle \beta \) è diversa dai valori precedentemente espressi, allora otteniamo due radici semplici (quelle ottenute dal polinomio di secondo grado) e \( \displaystyle \lambda={2} \) doppo... a te calcolare in questo caso la molteplicità geometrica. Tieni presente che \( \displaystyle \beta \) è un numero, non ci interessa quale, ma un numero quindi... trattala come un numero.

Ah dimenticavo... c'è un ultimo caso. Potrebbe accadere che il polinomio tra parentesi quadre, sia esattamente riconducibile al polinomio \( \displaystyle {2}-\lambda \). A te discutere questo caso. Postalo e vediamo se è corretto.
Ciao

[beck_s]

Ciao intanto grazie per le risposte, il polinomio caratteristico della matrice \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&{1}&{1}&{0}\\{2}+&#{946};&-{1}-&#{946};&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{2}}\right)} \) a me risulta ancora \( \displaystyle {{\left({2}-&#{955};\right)}}^{{2}}&#{8901};{\left(&#{955};-{1}\right)}&#{8901};{\left(&#{955};+{2}+&#{946};\right)} \)
guardando su internet ho trovato un'altro metodo (non essendo riuscito a calcolare la molteplicità geometrica) per stabilire se è diagonalizzabile, cioè che i 3 autovalori devono essere distinti perciò ho risolto così \( \displaystyle &#{955};{1}\ne&#{955};{2} \) e \( \displaystyle &#{955};{2}\ne&#{955};{3} \) e \( \displaystyle &#{955};{3}\ne&#{955};{1} \) cioè \( \displaystyle {2}\ne{1} \) sempre verificata, \( \displaystyle &#{946};\ne-{3} \), e \( \displaystyle &#{946};\ne-{4} \).
Quindi la matrice è diagonalizzabile per ogni valore di β diverso da -3 e -4. E' corretto?
L'esercizio mi chiedeva valori reali e complessi ma che differenza c'è? Cioè come faccio a trovare i valori complessi di \( \displaystyle \beta \)?
ciao e ancora grazie