Calcolare la radice di due - SNS 1981

[elios]

"Trovare quattro numeri interi positivi \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \), \( \displaystyle {d} \), in modo che per ogni numero razionale positivo \( \displaystyle {x} \) risulti
\( \displaystyle {\left|\frac{{{a}{x}+{b}}}{{{c}{x}+{d}}}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{{10}}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \).
Utilizzando la formula trovata, calcolare \( \displaystyle \sqrt{{2}} \) con l'approssimazione di \( \displaystyle {{10}}^{{-{3}}} \)."

Allora, per la prima parte dell'esercizio non ci sono grossi problemi: penso che ci siano diversi modi per trovare quei quattro numeri, ad esempio io ho trovato
\( \displaystyle {\left|\frac{{{10}\sqrt{{2}}{x}+{18}}}{{{9}{x}+{10}\sqrt{{2}}}}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{{10}}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \), oppure \( \displaystyle {\left|\frac{{\sqrt{{2}}{x}+{2}}}{{{x}+\sqrt{{2}}}}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{{10}}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \)...
Il problema è che per ottenere questi quattro numeri io ho proceduto imponendo che quella disuguaglianza iniziale fosse valida per QUALUNQUE \( \displaystyle {x} \), e perciò, ovviamente, se provo a fare i conti ed esplicitare \( \displaystyle \sqrt{{2}} \) nella disuguaglianza, alla fine il termine in \( \displaystyle {x} \) verrà semplificato, e otterrò, ad esempio nel primo risultato \( \displaystyle \sqrt{{2}}\gt{1} \). Essendo indipendente dalla \( \displaystyle {x} \), non riesco ad ottenere l'approssimazione richiesta..
Come faccio?

Grazie dell'aiuto.

[adaBTTLS]

non mi sono messa a fare i conti, ma immagino che l'indipendenza della disuguaglianza da \( \displaystyle {x} \) ci autorizzi ad iterare il procedimento.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
\( \displaystyle {y}=\frac{{\sqrt{{2}}{x}+{2}}}{{{x}+\sqrt{{2}}}},{z}=\frac{{\sqrt{{2}}{y}+{2}}}{{{y}+\sqrt{{2}}}},{t}=\frac{{\sqrt{{2}}{z}+{2}}}{{{z}+\sqrt{{2}}}},{\left|{t}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{10}}{\left|{z}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{100}}{\left|{y}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{1000}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \).
spero che il suggerimento sia utile. ciao.

[giammaria]

Ma i numeri da trovare non dovevano essere interi? I vostri non lo sono.

[adaBTTLS]

sembrerebbe di sì. in ogni caso io non li ho cercati, dato che elios ha detto di aver trovato diverse soluzioni..., mentre chiedeva aiuto per la seconda parte.

[elios]

non mi sono messa a fare i conti, ma immagino che l'indipendenza della disuguaglianza da \( \displaystyle {x} \) ci autorizzi ad iterare il procedimento.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
\( \displaystyle {y}=\frac{{\sqrt{{2}}{x}+{2}}}{{{x}+\sqrt{{2}}}},{z}=\frac{{\sqrt{{2}}{y}+{2}}}{{{y}+\sqrt{{2}}}},{t}=\frac{{\sqrt{{2}}{z}+{2}}}{{{z}+\sqrt{{2}}}},{\left|{t}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{10}}{\left|{z}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{100}}{\left|{y}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{1000}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \).
spero che il suggerimento sia utile. ciao.

Ho provato ad utilizzare \( \displaystyle {\left|{t}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{{1000}}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \), ma qualunque \( \displaystyle {z} \) sostituisco il primo membro viene zero.. Non riesco proprio a capire la logica con cui dovrei risolvere questo esercizio..

[elios]

Ma i numeri da trovare non dovevano essere interi? I vostri non lo sono.

Sinceramente non mi ero focalizzata sul fatto che debbano essere interi. Forse è lì l'errore: i numeri che ho trovato io sono "troppo buoni", nel senso che eliminano la dipendenza dalla \( \displaystyle {x} \), invece io devo cercare dei numeri interi che rendano vera la disuguaglianza ma senza riuscire ad eliminare la \( \displaystyle {x} \).. Ci provo.

[elios]

Credo di avercela fatta. Come avevo detto ho cercato dei valori interi di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {c} \) che rendessero vera la disuguaglianza. Usando le frazioni ce ne sono infiniti e io ho scelto
\( \displaystyle {\left|\frac{{{3}{x}+{4}}}{{{2}{x}+{3}}}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{{10}}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \)

A questo punto per trovare radice di due, ho che
-\( \displaystyle {x}\gt\sqrt{{2}} \), allora \( \displaystyle \sqrt{{2}}\gt\frac{{-{2}{{x}}^{{2}}+{27}{x}+{40}}}{{{18}{x}+{27}}} \) e sostituendo dei valori maggiori di \( \displaystyle \sqrt{{2}} \) si ha, ad esempio per \( \displaystyle {x}={2} \), \( \displaystyle \sqrt{{2}}\gt{1},{365} \), per \( \displaystyle {x}={1},{5} \), \( \displaystyle \sqrt{\gt}{1},{404} \).
-\( \displaystyle {x}\lt\sqrt{{2}} \), allora \( \displaystyle \sqrt{{2}}\lt\frac{{-{2}{{x}}^{{2}}+{27}{x}+{40}}}{{{18}{x}+{27}}} \) e sostituendo si ha ad esempio per \( \displaystyle {x}={1} \), \( \displaystyle \sqrt{{2}}\lt{1},{444} \), per \( \displaystyle {x}={1},{4} \), \( \displaystyle \sqrt{{2}}\lt{1},{415} \).

Se volete posto i calcoli.
Grazie dell'aiuto.

[adaBTTLS]

prego.
se non è troppo complicato, posta pure.
almeno una traccia, saltando i passaggi più banali, mettila comunque, visto che il problema potrebbe interessare a molti utenti.
ciao.

[elios]

Come promesso posto i calcoli, almeno i passaggi:
Cerco i valori per cui \( \displaystyle \frac{{{a}{x}+{b}}}{{{c}{x}+{d}}}-\sqrt{{2}}\gt{0} \), \( \displaystyle {x}{\left({a}-\sqrt{{2}}{c}\right)}\gt\sqrt{{2}}{d}-{b} \). Prendo \( \displaystyle {a}\gt\sqrt{{2}}{c} \) ed ho \( \displaystyle {x}\gt\frac{{\sqrt{{2}}{d}-{b}}}{{{a}-\sqrt{{2}}{c}}} \). Per far coincidere lo scioglimento dei due moduli pongo \( \displaystyle \frac{{\sqrt{{2}}{d}-{b}}}{{{a}-\sqrt{{2}}{c}}}=\sqrt{{2}} \), da cui \( \displaystyle {a}={d} \), \( \displaystyle {b}={2}{c} \). A questo punto il sistema diventa
\( \displaystyle {x}\ge\sqrt{{2}} \)
\( \displaystyle \frac{{{a}{x}+{2}{c}}}{{{c}{x}+{a}}}-\sqrt{{2}}\lt\frac{{1}}{{10}}\cdot{x}-\frac{\sqrt{{2}}}{{{10}}} \)
Risolvo questa disequazione e ottengo
\( \displaystyle {c}{{x}}^{{2}}+{x}{\left({9}\sqrt{{2}}{c}-{9}{a}\right)}+{9}\sqrt{{2}}{a}-{20}{c}\gt{0} \)
che ha come soluzioni \( \displaystyle {x}_{{1}}=\sqrt{{2}} \) e \( \displaystyle {x}_{{2}}=\frac{{{9}{a}-{10}\sqrt{{2}}{c}}}{{c}} \). Poiché le soluzioni delle disequazioni sono esterne, affinché l'insieme soluzione di questa disequazione coincida con \( \displaystyle {x}\ge\sqrt{{2}} \), si deve avere \( \displaystyle \frac{{{9}{a}-{10}\sqrt{{2}}{c}}}{{c}}\lt\sqrt{{2}} \), cioè \( \displaystyle {a}\lt\frac{{11}}{{9}}\cdot\sqrt{{2}}{c} \).
Mettendo insieme le due condizioni, \( \displaystyle \sqrt{{2}}{c}\lt{a}\lt\frac{{11}}{{9}}\sqrt{{2}}{c} \). Prendo ad esempio \( \displaystyle {a}=\frac{{3}}{{2}}{c} \). Ottengo
\( \displaystyle {\left|\frac{{{3}{x}+{4}}}{{{2}{x}+{3}}}-\sqrt{{2}}\right|}\lt\frac{{1}}{{10}}{\left|{x}-\sqrt{{2}}\right|} \).
(Avendo fatto lo stesso sistema precedente ma con \( \displaystyle {x}\lt\sqrt{{2}} \) e con \( \displaystyle {c}{{x}}^{{2}}+{x}{\left({9}\sqrt{{2}}{c}-{9}{a}\right)}+{9}\sqrt{{2}}{a}-{20}{c}\lt{0} \), che ha come soluzioni \( \displaystyle \frac{{{9}{a}-{10}\sqrt{{2}}{c}}}{{c}}\lt{x}\lt\sqrt{{2}} \), e avendo imposto \( \displaystyle \frac{{{9}{a}-{10}\sqrt{{2}}{c}}}{{c}}\lt{0} \) (per comprendere tutti i numeri razionali positivi), cioè \( \displaystyle {a}\lt\frac{{10}}{{9}}\sqrt{{2}}{c} \), noto che \( \displaystyle {a}=\frac{{3}}{{2}}{c} \) rispetta questa condizione.)
Per calcolare \( \displaystyle \sqrt{{2}} \), divido la disequazione in funzione dei moduli:
\( \displaystyle {x}\ge\sqrt{{2}} \), \( \displaystyle \frac{{{3}{x}+{4}}}{{{x}+{3}}}-\sqrt{{2}}\lt\frac{{1}}{{10}}{\left({x}-\sqrt{{2}}\right)} \), da cui \( \displaystyle \sqrt{{2}}\gt\frac{{-{2}{{x}}^{{2}}+{27}{x}+{40}}}{{{18}{x}+{27}}} \), e si calcola come ho scritto nei precedenti post, e così si fa per \( \displaystyle {x}\lt\sqrt{{2}} \).

Spero sia tutto chiaro.