Calcolare matrici simili..(No diagonalizzazione)

[kotek]

Ciao a tutti,
sto studiando il capito riguardo le matrici simili e il processo di diagonalizzazione e mi stavo domandando se mi venisse data una matrice come faccio a trovarne una simile? Ciò io non voglio diagonalizzarla (non voglio trovare la matrice diagonale alla quale essa è simile), ma voglio semplicemente trovarne una simile, come si fa?
Grazie mille.

[Gi8]

Sfrutta la definizione di matrici simili:

Due matrici quadrate $A,B$ si dicono simili se $EE M$, matrice quadrata invertibile, tale che $B=M^(-1)*A*M$

Quindi se hai una matrice quadrata $A$, come farai a trovarne una simile?

[kotek]

e quello che quello che mi domando io, come faccio a trovarne una simile?

[Gi8]

Pensavo ci arrivassi da solo.
Basta che scegli una matrice quadrata invertibile $M$ (ovviamente sceglila comoda), poi trovi $M^(-1)*A*M$,
chiami questa matrice $B$ e hai che $A$ e $B$ sono simili

[kotek]

che stupido che sono! grazie mille!!

[kotek]

scusami un'altra domanda.....e se invece mi vengono date due matrici simili, come faccio a trovare la matrice M, invertibile, che le "rende simili"? scusa la mia ignoranza...

[Gi8]

Questa domanda non ha una risposta banale. Non è immediato trovare la matrice che "rende simili" due matrici.
Bisogna fare due conti. Ragioniamo:
Noi abbiamo $A,B in cc(M)_(n xx n)$, (con $n in NN$), simili. Dunque sicuramente $EE M in cc(M)_(n xx n)$, con $det(M)!=0$, tale che $B=M^(-1)*A*M$
Questo significa che $M*B=M*M^(-1)*A*M => M*B=A*M$
Quest'ultima equazione matriciale si può semplificare ulteriormente? A meno di mie grossolane disattenzioni, direi di no. Non si può isolare $M$.
Dunque questa è la forma più semplificata possibile. Per trovare $M$ bisogna risolvere un sistema di $n^2$ equazioni con $n^2$ incognite.
Se non si utilizza un computer per risolverlo, direi che finchè $n=2$ o $n=3$ si può ancora fare a mano, ma se $n>=4$ la cosa comincia a farsi difficile.


Vediamo un esempio (con $n=2$, naturalmente. Non voglio impazzire )
Siano $A=((1,1),(2,4))$, $B=((2,1),(4,3))$ matrici simili. Trovare $M$
(come faccio a sapere già in anticipo che sono simili?
in realtà ho scelto a caso la matrice $A$, ho scelto a caso una matrice invertibile $M$ e ho calcolato $B=M^(-1)*A*M$.
ovviamente non scrivo $M$ anche se già la conosco )
$M=((a,b),(c,d))$. Si tratta di trovare $a,b,c,d in RR$
Noi sappiamo che $M*B=A*M$, dunque
$((a,b),(c,d))*((2,1),(4,3))=((1,1),(2,4))*((a,b),(c,d))$
Si ottiene un sistema a $4$ equazioni con $4$ incognite (infatti $n=2 =>n^2=4)$.
Il sistema è il seguente:
${\(2a+4b=a+c),(a+3b=b+d),(2c+4d=2a+4c),(c+3d=2b+4d):}$ Risolvendolo otteniamo la soluzione ${\(a=1),(b=0),(c=1),(d=1):}$. Dunque $M=((1,0),(1,1))$
Come certamente noterai, non è un procedimento immediato nè tantomeno semplice. Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Ciao

[kotek]

Chiarissimo al 100000%!! Non so come ringraziarti, mi hai risolto un grande dilemma!!Ancora grazie mille!!

[E.Nigma]

@ Gi8
Ciao!
Io ho una situazione simile ma con n=4, perciò ho deciso di usare MatLab, ma sono al primo approccio con il linguaggio. Conosci un modo per ottenere e risolvere il sistema riga x colonna simile a quello che hai ottenuto tu?
Dovrei realizzare un codice che in automatico, conoscendo A e B, trovi X, per poi implementarlo in un programma più complesso.
Il problema è che, per quanto ho letto, a MatLab bisogna dare il sistema in forma Matrice_dei_coefficienti*Matrice_delle_incognite=Matrice_dei_valori_noti, e riordinare il risutato del prodotto rigaxcolonna non è semplice. Sto provando con dei cicli while annidati, ma sono in stallo...
Invoco aiuto.