calcolare una funzione inversa

[matematicus95]

ho la seguente funzione : \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}}-{x}+{2} \) devo calcolare la sua inversa quindi :
devo isolare la x \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{x}={y}-{2} \) poi \( \displaystyle {x}{\left({x}-{1}\right)}={y}-{2} \)
poi come continuo e come faccio a trovare la sua inversa?

[TheDoubt]

La funzione proposta non è iniettiva (infatti è una parabola), perciò non può essere invertita.
In teoria non sarebbe neppure suriettiva, ma la si potrebbe rendere tale restringendo il codominio all'insieme [7/4, +inf[, dove 7/4 è l'ordinata del punto minimo, ossia il vertice della parabola.

Volendola invertire, bisognerebbe restringere anche il dominio.
Considerando D=[1/2, +inf[, dove x=1/2 è l'ascissa del vertice, allora si potrebbe invertire.

Riassumendo, dominio ristretto a \( \displaystyle {D}={\left[{\frac{{{1}}}{{{2}}}},+\infty\right)} \) , codominio ristretto a \( \displaystyle {C}={\left[{\frac{{{7}}}{{{4}}}},+\infty\right)} \) , allora si inverte.

\( \displaystyle {y}={{x}}^{{2}}-{x}+{2} \)
\( \displaystyle {y}-{2}={{x}}^{{2}}-{x} \)
\( \displaystyle {y}-{2}={{\left({x}-{\frac{{{1}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}}-{\frac{{{1}}}{{{4}}}} \)
\( \displaystyle {y}-{2}+{\frac{{{1}}}{{{4}}}}={{\left({x}-{\frac{{{1}}}{{{2}}}}\right)}}^{{2}} \)
\( \displaystyle \sqrt{{{y}-{\frac{{{7}}}{{{4}}}}}}={x}-{\frac{{{1}}}{{{2}}}} \)
\( \displaystyle {x}={\frac{{{1}}}{{{2}}}}+\sqrt{{{y}+{\frac{{{7}}}{{{4}}}}}} \)

[@melia]

Ma anche, risolvendo come una banale equazione di secondo grado
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{x}+{2}-{y}={0} \) da cui \( \displaystyle {x}_{{{1},{2}}}=\frac{{{1}\pm\sqrt{{{1}-{8}+{4}{y}}}}}{{2}}=\frac{{{1}\pm\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}}{{2}} \) da cui le due inverse
\( \displaystyle {x}=\frac{{{1}-\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}}{{2}} \) per \( \displaystyle {x}\lt\frac{{1}}{{2}} \) e
\( \displaystyle {x}=\frac{{{1}+\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}}{{2}} \) per \( \displaystyle {x}\ge\frac{{1}}{{2}} \)

[matematicus95]

da dove esce \( \displaystyle {x}\lt\frac{{1}}{{2}} \) e \( \displaystyle {x}\ge\frac{{1}}{{2}} \) ? io la parabola ancora la so disegnare.

[@melia]

\( \displaystyle {x}=\frac{{{1}-\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}}{{2}} \) può essere scritta \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{2}}-\frac{\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}{{2}} \) e quindi darà valori della x minori o uguali a \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \), allo stesso modo \( \displaystyle {x}=\frac{{{1}+\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}}{{2}} \) può essere scritta \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{2}}+\frac{\sqrt{{{4}{y}-{7}}}}{{2}} \), con conseguenti valori di x maggiori o uguali a \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \), se usi entrambe le inverse il valore \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) deve essere messo una volta sola, io ho scelto di metterlo nel maggiore.