[Trasformata z] Calcolo ampiezza e fase

[Luke3]

Ciao a tutti,
ho un dubbio sul seguente esercizio:
dato il filtro \( \displaystyle {H}{\left({z}\right)}=\frac{{{1}+{{z}}^{{-{{5}}}}}}{{{1}+{{z}}^{{-{{1}}}}}} \)

Definire l'ampiezza e la fase per le tre frequenze normalizzate: 0, \( \displaystyle {2}\frac{\pi}{{5}} \) , \( \displaystyle \pi \) .

Fin'ora conoscevo solo il metodo grafico per risolvere questo problema, ma credo sia troppo dispendioso avendo 5 zeri ed 1 polo.
Qual'è il metodo giusto da utilizzare in questo caso?

[AMs]

puoi passare dalla trasformata discreta di Fourier

\( \displaystyle {H}{\left(\omega\right)}={H}{\left({z}\right)}{\mid}_{{{z}={{e}}^{{{j}\omega}}}}=\frac{{{1}+{{e}}^{{-{j}\omega{5}}}}}{{{1}+{{e}}^{{-{j}\omega}}}} \)

a questo punto per \( \displaystyle \omega={0} \) hai \( \displaystyle {H}{\left(\omega\right)}={1} \) e fase nulla
per \( \displaystyle \omega=\frac{{2}}{{5}}\pi \) hai \( \displaystyle {\left|{H}{\left(\omega\right)}\right|}=\frac{{1}}{{\cos{{\left(\frac{\pi}{{5}}\right)}}}} \) e fase \( \displaystyle \frac{\pi}{{5}} \)
infine per \( \displaystyle \omega=\pi \) hai il modulo che tende ad infinito e fase nulla.

Almeno se non ho sbagliato i conti

[Luke3]

Grazie per la risposta!
Scusa ma il moduolo di \( \displaystyle {\cos{{\left(-\frac{{2}}{{5}}\cdot\pi\right)}}}+{i}\cdot{s}{e}{n}{\left(-\frac{{2}}{{5}}\cdot\pi\right)} \) ed il modulo di \( \displaystyle {\cos{{\left(-{2}\cdot\pi\right)}}}+{i}\cdot{s}{e}{n}{\left(-{2}\cdot\pi\right)} \) non sono uguali a 1??
Come viene fuori \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{\pi}{{5}}\right)}}} \) ?? E la fase sarebbe \( \displaystyle \frac{\pi}{{5}} \) perchè è l'argomento del coseno?

[luca.barletta]

infine per \( \displaystyle \omega=\pi \) hai il modulo che tende ad infinito e fase nulla.

No, il filtro è a campionamento in frequenza: il polo alla frequenza normalizzata \( \displaystyle \pi \) viene cancellato da uno zero nella stessa posizione, infatti gli zeri si trovano alle frequenze \( \displaystyle k\frac{2\pi}{5}+\frac{2\pi}{10} \) con \( \displaystyle k\in\{0,1,2,3,4\} \) .

Questo è un filtro FIR, infatti si ha che:
\( \displaystyle \frac{1+z^{-5}}{1+z^{-1}}=\sum_{i=0}^4 (-1)^iz^{-i} \) .

Il valori richiesti alla frequenza \( \displaystyle \pi \) si possono calcolare agevolmente sia col metodo grafico che per sostituzione in \( \displaystyle z=e^{j\pi} \) .
In particolare dovresti trovare all'incirca
\( \displaystyle 20\cdot\log_{10}|H(e^{j\pi})|\approx 13.98 \)

[Luke3]

Suppongo che il valore 13.98 in dB sia calcolato per \( \displaystyle \omega=\pi \). Per tale valore di \( \displaystyle \omega \) i calcoli dovrebbero essere i seguenti:

\( \displaystyle {\left|{H}{\left(\omega\right)}\right|}=\frac{{\left|{1}+{\cos{{\left(-{5}\cdot\pi\right)}}}+{i}\cdot{s}{e}{n}{\left(-{5}\cdot\pi\right)}\right|}}{{\left|{1}+{\cos{{\left(-\pi\right)}}}+{i}\cdot{s}{e}{n}{\left(-\pi\right)}\right|}}=\frac{{{\sqrt[{{2}}]{{{{\left({1}+{\cos{{\left(-{5}\cdot\pi\right)}}}\right)}}^{{2}}+{{\left({\sin{{\left(-{5}\cdot\pi\right)}}}\right)}}^{{2}}}}}}}{{{\sqrt[{{2}}]{{{{\left({1}+{\cos{{\left(-\pi\right)}}}\right)}}^{{2}}+{{\left({\sin{{\left(-\pi\right)}}}\right)}}^{{2}}}}}}} \)

dov'è che sbaglio???

[Luke3]

ops!..mi sa che è giusto!...poca autofiducia! il risultato in db è proprio 13.98 se non sbaglio.

mentre la fase sempre per \( \displaystyle \omega=\pi \) dovrebbe essere:

\( \displaystyle {\arctan{{\left(\frac{{{\sin{{\left(-{5}\cdot\pi\right)}}}}}{{{1}+{\cos{{\left(-{5}\cdot\pi\right)}}}}}\right)}}}-{\arctan{{\left(\frac{{{\sin{{\left(-\pi\right)}}}}}{{{1}+{\cos{{\left(-\pi\right)}}}}}\right)}}}={0} \)


???

[AMs]

Grazie per la risposta!
Scusa ma il moduolo di \( \displaystyle {\cos{{\left(-\frac{{2}}{{5}}\cdot\pi\right)}}}+{i}\cdot{s}{e}{n}{\left(-\frac{{2}}{{5}}\cdot\pi\right)} \) ed il modulo di \( \displaystyle {\cos{{\left(-{2}\cdot\pi\right)}}}+{i}\cdot{s}{e}{n}{\left(-{2}\cdot\pi\right)} \) non sono uguali a 1??
Come viene fuori \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{\pi}{{5}}\right)}}} \) ?? E la fase sarebbe \( \displaystyle \frac{\pi}{{5}} \) perchè è l'argomento del coseno?

Io ho fatto così

\( \displaystyle {H}{\left(\omega\right)}=\frac{{{1}+{{e}}^{{-{j}\cdot{2}\cdot\pi}}}}{{{1}+{{e}}^{{-{j}\cdot\frac{{2}}{{5}}\cdot\pi}}}}=\frac{{2}}{{{{e}}^{{{j}\cdot\frac{\pi}{{5}}}}+{{e}}^{{-{j}\cdot\frac{\pi}{{5}}}}}}\cdot{{e}}^{{{j}\cdot\frac{\pi}{{5}}}}=\frac{{1}}{{\cos{{\left(\frac{\pi}{{5}}\right)}}}}\cdot{{e}}^{{{j}\cdot\frac{\pi}{{5}}}} \)