Calcolo classi di equivalenza e relazione di equivalenza det

[fallendaydreamer]

\( \displaystyle {R}={\left\lbrace{\left({a},{b}\right)}&#{8712};&#{8484};{x}&#{8484};;{2}{\mid}{5}{a}-{3}{b}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {R}={\left\lbrace{\left({a},{b}\right)}&#{8712};&#{8484};{x}&#{8484};;{3}{\mid}{5}{n}-{2}{m}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {R}={\left\lbrace{\left({a},{b}\right)}&#{8712};&#{8484};{x}&#{8484};;&#{8707};{h}&#{8712};&#{8484};{t}.{c}.{3}{a}+{b}={4}{h}\right\rbrace} \)
Ho già dimostrato che tutte e tre le relazioni sono di equivalenza, e ora dice di calcolare, per ciasscuna, la classe di equivalenza determinata da -1.
\( \displaystyle {\left[-{1}\right]}{R}={\left\lbrace{y}{t}.{c}.-{1}{R}{y}\right\rbrace} \)
Nel primo caso viene 2|-5-3y
quindi ho cercato di risolvere in questo modo...
2h=-5-3y
y= - (2h+5)/3, e facendo un po' di calcoli mi risulta che [-1]R è l'insieme dei numeri dispari. E' corretto?
Nel secondo caso mi viene y=-(3h+5)/2 cioè tutto ℤ?
Stessa cosa nel terzo caso... ma forse sbaglio e non ho capito come si procede per determinare la classe di equivalenza...
\( \displaystyle {A}={\left\lbrace{1},{2},{3},{4},{5},{6}\right\rbrace},{X}{1}={\left\lbrace{3},{5}\right\rbrace},{X}{2}={\left\lbrace{1},{2},{4},{6}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {P}={\left\lbrace{X}{1},{X}{2}\right\rbrace} \)
P è una partizione di A?
Sì perchè X1^X2 non sono vuoti, la loro intersezione da l'insieme vuoto, e la loro unione l'insieme A.
Poi dice di calcolare la relazione di equivalenza su A determinata da P, credo che la soluzione sia l'insieme R={(a,b);(b,c)} formato da tutte le possibili coppie ordinate dove a^b appartengono all'insieme X1 e b^c all'insieme X2. Giusto?

[cirasa]

Ciao, benvenut* nel forum. Mi raccomando all'uso delle formule. Usale sempre!

Nel primo caso a me sembra corretto. Tu scrivi "facendo un po' di calcoli". Non so quali calcoli tu abbia fatto, ma il risultato è esatto.
Nel secondo caso c'è qualcosa che non va. Non è possibile che la classe di equivalenza di \( \displaystyle -{1} \) sia tutto \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Per esempio \( \displaystyle -{1} \) non è in relazione con \( \displaystyle {1} \) (infatti \( \displaystyle {5}\cdot{\left(-{1}\right)}-{2}\cdot{1}=-{7} \) che non è divisibile per \( \displaystyle {3} \)).
Per capire la classe di equivalenza di \( \displaystyle -{1} \) puoi usare le congruenze...
Stessa cosa per il terzo caso. \( \displaystyle -{1} \) non è in relazione con \( \displaystyle {0} \) per esempio. Quindi la classe di equivalenza di \( \displaystyle -{1} \) non è tutto \( \displaystyle \mathbb{Z} \).

Per la partizione, ok (ma usa le formule altrimenti non si capisce bene cosa vuoi dire).

[fallendaydreamer]

Ok grazie.
Nel primo caso
\( \displaystyle {y}=-\frac{{{2}{h}+{5}}}{{3}} \)
ho provato ad assegnare ad h dei valori ordinati, e quindi veniva \( \displaystyle -\frac{{5}}{{3}},-\frac{{7}}{{3}},-\frac{{9}}{{3}} \), cioè tutti numeri che differivano di \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}} \), e i numeri divisibili per 3 risultavano soltanto tutti i numeri dispari, e tutti i multipli dispari di 3 diviso 3 danno tutti i possibili numeri dispari... però mi sembra un po' contorto come ragionamento per cui penso che ci sia un modo più lineare...
e per gli altri due casi non so come procedere a livello pratico...

[cirasa]

Se hai studiato le congruenze, dovrebbe essere facile.
Se non lo hai fatto o non le ricordi bene, dimmelo e ti dò qualche altro indizio.

[fallendaydreamer]

Ho fatto soltanto la relazione di congruenza modulo n, che afferma che dati due numeri \( \displaystyle {\left({a},{b}\right)} \) la relazione di congruenza modulo N è \( \displaystyle {n}{\mid}{a}-{b} \), nel caso in cui abbiamo una classe \( \displaystyle {\left[{m}\right]}{R}{n} \) essa è l'insieme di b tali che \( \displaystyle {n}{\mid}{m}-{b} \), ma non so come applicare tutto ciò alle classi che ho negli esercizi...
Comunque nel primo caso ho capito come fare in modo lineare, sapendo che \( \displaystyle {2}{\mid}-{5}-{3}{y} \), è necessario che \( \displaystyle -{5}-{3}{y} \) sia pari, e poichè la somma algebrica di due numeri è pari se e solo se essi sono concordi, anche \( \displaystyle {3}{y} \) deve essere dispari come lo è \( \displaystyle {5} \), e quindi \( \displaystyle {3}{y} \) è dispari per ogni \( \displaystyle {y} \) dispari. Quindi \( \displaystyle {\left[-{1}\right]}{R}={\left\lbrace{y}&#{8712};&#{8484};,{y}{d}{e}{v}{e}{e}{s}{s}{e}{r}{e}{d}{i}{s}{p}{a}{r}{i}\right\rbrace} \)
Nell'ultimo caso ho visto che i numeri tali da rendere \( \displaystyle {y}-{3} \) divisibile per 4 erano tutti i numeri dispari di 4 in 4, quelli che comprendono il -1... e quindi \( \displaystyle {y}=-{3}+{4}{n} \) con n qualsiasi appartenente a Z
Però non c'è un procedimento logico... cioè l'ho capito in modo "numerico"... e penso ci sia un modo migliore per farlo...
allo stesso modo nel secondo caso mi viene
\( \displaystyle {y}=-{5}-{3}{n} \) con n qualsiasi appartenente a Z
Ho estrapolato una specie di formula da questa cosa
ossia
se \( \displaystyle {p}{\mid}{a}{y}-{q} \)
allora
\( \displaystyle {y}={q}+{p}{n} \) con \( \displaystyle {n}&#{8712};&#{8484}; \)
Infatti anche nel primo caso viene \( \displaystyle {y}=-{5}+{2}{n} \) che corrisponde ai numeri dispari...

[cirasa]

Io farei così.

Nel primo caso:
\( \displaystyle \displaystyle y\in[-1]_R\ \Leftrightarrow\ -1\,R\,y\ \Leftrightarrow\ 2|-5-3y\ \Leftrightarrow\ -5-3y\equiv0\,\mod 2 \)
\( \displaystyle \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ -3y\equiv5\,\mod 2\ \Leftrightarrow\ y\equiv1\,\mod 2\ \Leftrightarrow\ y \textrm{ è dispari} \)

Nel secondo caso
\( \displaystyle \displaystyle y\in[-1]_R\ \Leftrightarrow\ -1\,R\,y\ \Leftrightarrow\ 3|-5-2y\ \Leftrightarrow\ -5-2y\equiv0\,\mod 3 \)
\( \displaystyle \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ -2y\equiv5\,\mod 3\ \Leftrightarrow\ y\equiv2\,\mod 3 \)
Quindi gli elementi di \( \displaystyle [-1]_R \) sono tutti e soli gli interi che hanno resto \( \displaystyle 2 \) nella divisione per \( \displaystyle 3 \) .

Prova a verificare la tua intuiizione nel terzo caso...

[fallendaydreamer]

Quello che hai scritto tu l'abbiamo studiato sì, ma abbastanza dopo queste genere di esercizi, di conseguenza suppongo che debba utilizzare un altro modo per risolverli...dato che al tempo non avevo a disposizione queste conoscenze...

[cirasa]

Beh comunque puoi usare un ragionamento simile senza usare il linguaggio delle congruenze.
Per esempio, nel secondo caso: si ha che \( \displaystyle y\in[-1]_R \) se e solo se \( \displaystyle -5-2y \) è divisibile per \( \displaystyle 3 \) .
Ma visto che \( \displaystyle -5-2y=y-2+(-3y-3) \) e il secondo addendo è divisibile per \( \displaystyle 3 \) , ciò equivale a dire che \( \displaystyle y-2 \) è divisibile per \( \displaystyle 3 \) e cioè che \( \displaystyle y \) ha lo stesso resto di \( \displaystyle 2 \) nella divisione per \( \displaystyle 3 \) .

[Neptune]

Io farei così.

Nel primo caso:
\( \displaystyle \displaystyle y\in[-1]_R\ \Leftrightarrow\ -1\,R\,y\ \Leftrightarrow\ 2|-5-3y\ \Leftrightarrow\ -5-3y\equiv0\,\mod 2 \)
\( \displaystyle \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ -3y\equiv5\,\mod 2\ \Leftrightarrow\ y\equiv1\,\mod 2\ \Leftrightarrow\ y \textrm{ è dispari} \)

Nel secondo caso
\( \displaystyle \displaystyle y\in[-1]_R\ \Leftrightarrow\ -1\,R\,y\ \Leftrightarrow\ 3|-5-2y\ \Leftrightarrow\ -5-2y\equiv0\,\mod 3 \)
\( \displaystyle \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ -2y\equiv5\,\mod 3\ \Leftrightarrow\ y\equiv2\,\mod 3 \)
Quindi gli elementi di \( \displaystyle [-1]_R \) sono tutti e soli gli interi che hanno resto \( \displaystyle 2 \) nella divisione per \( \displaystyle 3 \) .

Prova a verificare la tua intuiizione nel terzo caso...

Ciao,
scusatemi se mi intrometto anch'io nel thread ma sto cercando di svolgere proprio questo genere di esercizi e, l'idea di usare le congruenze sembra ottima.
Però mi sfugge un passaggio, ad esempio nella prima che calcoli fai per passare da: \( \displaystyle -{5}-{3}{b}\equiv{0}{\left(\text{mod}{2}\right)} \) a \( \displaystyle {3}{b}\equiv{5}{\left(\text{mod}{2}\right)} \) ? sicuramente mi sono dimenticato qualche formula.

xfallendaydreamer: Per caso, avresti sotto mano altri esercizi simili sulle relazioni di equivalenza e classi di equivalenza/insieme quoziente ? perchè sono alla disperata ricerca di esercizi di questa branchia ma non ne sto trovando di "molto simili" a parte i tre da te postati.

[cirasa]

Io farei così.

Nel primo caso:
\( \displaystyle \displaystyle y\in[-1]_R\ \Leftrightarrow\ -1\,R\,y\ \Leftrightarrow\ 2|-5-3y\ \Leftrightarrow\ -5-3y\equiv0\,\mod 2 \)
\( \displaystyle \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ -3y\equiv5\,\mod 2\ \Leftrightarrow\ y\equiv1\,\mod 2\ \Leftrightarrow\ y \textrm{ è dispari} \)
...

...
Però mi sfugge un passaggio, ad esempio nella prima che calcoli fai per passare da: \( \displaystyle -{5}-{3}{b}\equiv{0}{\left(\text{mod}{2}\right)} \) a \( \displaystyle {3}{b}\equiv{5}{\left(\text{mod}{2}\right)} \) ? sicuramente mi sono dimenticato qualche formula.

Ho usato la seguente proprietà:
Se \( \displaystyle \displaystyle a\equiv\alpha\mod n \) e \( \displaystyle \displaystyle b\equiv\beta\mod n \) , allora \( \displaystyle \displaystyle (a+b)\equiv(\alpha+\beta)\mod n \) (*).
Da ciò si deduce che \( \displaystyle \displaystyle (a+b)\equiv 0\mod n\ \Rightarrow\ a\equiv -b\mod n \) .