da apatriarca » 07/01/2012, 15:25
Prima di tutto ti trovi davanti ad una funzione, per cui difficilmente il risultato sarà un singolo numero (o comunque sarà almeno una funzione costante). Prova a scrivere quegli esponenziali come numeri complessi con parte reale ed immaginaria esplicitati e poi calcolarne il modulo (mettendo al quadrato le varie parti). Alternativamente, dato \( X(f) = 1 + \exp(- j 2 \pi f) + exp(- j 4 \pi f) + exp(- j 6 \pi f), \;\; \) puoi calcolarti
\[ |X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)} = (1 + e^{- j 2 \pi f} + e^{- j 4 \pi f} + e^{- j 6 \pi f})(1 + e^{j 2 \pi f} + e^{j 4 \pi f} + e^{j 6 \pi f}). \]
Il Risultato dovrebbe essere
\[ |X(f)|^2 = 4 + 3\,(e^{- j 2 \pi f} + e^{j 2 \pi f}) + 2\,(e^{- j 4 \pi f} + e^{j 4 \pi f}) + (e^{- j 6 \pi f} + e^{j 6 \pi f}), \]
cioè, osservando che \( \exp(- j 2 \pi n f) + \exp(j 2 \pi n f) = 2\,\cos(2 \pi n f), \)
\[ |X(f)| = \sqrt{4 + 6\,\cos(2 \pi f) + 4\,\cos(4 \pi f) + 2\,\cos(6 \pi f)} \; . \]
Ho fatto i conti un po' di fretta, ma spero che siano corretti. Usando l'altro metodo si dovrebbero ottenere risultati simili. La trasformata non dovrebbe poi cambiare aggiungendo i campioni aggiuntivi uguali a zero.
EDIT: Ho provato a confrontare il mio risultato con quello numerico restituito da Octave (Matlab) e sembrano coincidere (fino a più di 8 cifre decimali). Credo la formula sia quindi corretta.
non ho minimamente idea neanche da dove iniziare
