Calcolo della sfera di centro C tangente a r

[Skuld]

Potreste vedere se ho risolto correttamente l'ercizio?
La traccia dice : Calcola la sfera di centro C tangente a r .

Mi sono calcolata la retta \( \displaystyle {3}{x}+{6}{y}+{5}{z}={0} \) e il centro è \( \displaystyle {C}{\left({3},{0},{1}\right)} \)

quindi mi calcolo il raggio procedendo in questo modo :

\( \displaystyle {r}={\mid}\frac{{{3}{\left({3}\right)}+{6}{\left({0}\right)}+{5}{\left({1}\right)}}}{{\sqrt{{{{\left({3}\right)}}^{{2}}+{{\left({6}\right)}}^{{2}}+{{\left({5}\right)}}^{{2}}}}{\mid}=\right.}} \)(14)/\( \displaystyle {\left(\sqrt{{{70}}}\right)} \) = \( \displaystyle {\left(\sqrt{{{70}}}\right)} \)/\( \displaystyle {\left({5}\right)} \)

quindi procedo e applicando la formula per trovare la sfera , otteniamo

\( \displaystyle {{\left({x}-{x}{0}\right)}}^{{2}}+{{\left({y}-{y}{0}\right)}}^{{2}}+{{\left({z}-{z}{0}\right)}}^{{2}} \)=\( \displaystyle {{\left({r}\right)}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {{\left({x}-{3}\right)}}^{{2}}+{{\left({y}-{0}\right)}}^{{2}}+{{\left({z}-{1}\right)}}^{{2}} \)=\( \displaystyle \frac{{{14}}}{{{5}}} \)

[mistake89]

un errore lo si nota subito... quell'equazione in uno spazio \( \displaystyle {E}_{{3}} \) rappresenta un piano non una retta ... (mi riferisco a \( \displaystyle {3}{x}+{6}{y}+{5}{z}={0} \))
Posta la traccia completa.

[Skuld]

Fissato nello spazio un riferimento ortonormale Oxyz , dati i punti A(1,2,3) , B(2,-1,0) e C(3,0,1) trovare :

a) la retta r per A e B " In questo caso ho utilizzato la matrice"
b) i coseni direttori di r orientata da A verso B e ho applicato le normali formule
c) la sfera di centro C tangente a r e ho risolto in quel modo

[mistake89]

ma quel modo non è corretto, perchè hai fornito l'equazione di un piano e non di una retta, ed applicato la distanza piano-punto.
Determina la retta \( \displaystyle {r}={\left[{A}{B}\right]} \), a questo punto puoi considerare la distanza di \( \displaystyle {r} \) da \( \displaystyle {C} \), costruendo un piano \( \displaystyle \pi \) perpendicolare \( \displaystyle {r} \) passante per \( \displaystyle {C} \), chiami \( \displaystyle {\left\lbrace{H}\right\rbrace}=\pi\cap{r} \) e consideri la distanza \( \displaystyle {d}{\left({H}{C}\right)} \) e questo sarà il raggio. E completi con la formula che hai utilizzato.

[Skuld]

scusa ,
ma non ho capito come faccio a determinare la retta r . Potresti spiegarmelo?

[mistake89]

Esiste una formula comunissima che ti riporto \( \displaystyle {\left[{P}{Q}\right]}=\frac{{{x}-{x}_{{1}}}}{{{x}_{{2}}-{x}_{{1}}}}=\frac{{{y}-{y}_{{1}}}}{{{y}_{{2}}-{y}_{{1}}}}=\frac{{{z}-{z}_{{1}}}}{{{z}_{{2}}-{z}_{{1}}}} \), dove \( \displaystyle {P}{\left({x}_{{1}},{y}_{{1}},{z}_{{1}}\right)} \) e \( \displaystyle {Q}{\left({x}_{{2}},{y}_{{2}},{z}_{{2}}\right)} \) Da questa poi passi all'equazione cartesiana.

[Skuld]

cioè, applico quella formula e uguaglio per esempio il 1^ rapporto al 3^ e il 2^ al 3^ ottenendo così le equazioni ridotte. Giusto?

[mistake89]

esatto. Con la convenzione che se un denominatore è \( \displaystyle {0} \) eguagli a \( \displaystyle {0} \) il rispettivo numeratore.