Calcolo delle probabilità

[bibbolo]

Ciao a tutti.
Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito:

Ho un sacchetto con 32 palline colorate. Ci sono 4 palline dello stesso colore per ogni colore, per un totale di 8 colori diversi.
Qual è la probabilità (in termini di percentuale) che estraendo 5 palline dal sacchetto io mi ritrovi soltanto due palline dello stesso colore?

Mi interessa sapere, oltre al risultato, il procedimento e la formula applicata.

[giannirecanati]

Io lo farei così. Supponiamo per comodità che l'estrazione sia successiva, allora tutte le quintuple sono date da:\(\displaystyle 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \). I casi favorevoli sono \(\displaystyle 4\cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \). La prima pallina può essere scelta in 8, la seconda in 7, la terza in 6, la quarta 5 e l'ultima in 4.
La probabilità, ammesso che quello fatto sia giusto, dovrebbe venire: \(\displaystyle \frac{1290240}{24165120} \sim 5,3\)%.

[bibbolo]

Ciao e grazie per la risposta; penso che tu ti sia sbagliato solo di una virgola perché deve uscire il risultato di ∼53,4%.
Che significa che per comodità supponiamo che l'estrazione sia successiva? Scusami se ti chiedo di spiegarmi meglio ma non sono molto pratico con i calcoli delle probabilità..

[milizia96]

A dire la verità non ho ben compreso il discorso di giannirecanati. Ad ogni modo ecco come farei io:

Ovviamente tutti i casi possibili sono \( \displaystyle {32}\cdot{31}\cdot{30}\cdot{29}\cdot{28} \), come già sottolineato da giannirecanati.
Il difficile sta nel contare i casi favorevoli.
Supponendo che venga estratta una pallina alla volta (tanto non cambia), ho contato in quante posizioni distinte possono trovarsi le due palline dello stesso colore. Risultano 10 possibili disposizioni.
Inoltre abbiamo: 32 possibilità per scegliere la prima pallina;
28 per scegliere la seconda;
24 per la terza;
20 per la quarta;
3 per quella che si ripete.
Quindi in tutto i casi favorevoli sono \( \displaystyle {32}\cdot{28}\cdot{24}\cdot{20}\cdot{3}\cdot{10} \).
Alla fine il rapporto casi favorevoli/possibili risulta essere uguale a \( \displaystyle {0},{5339}={53},{39} \)%

[bibbolo]

Ciao milizia grazie per la risposta; ti chiedo se è possibile spiegarmi bene passo passo, perché appunto mi interessa il ragionamento e mancandomi forse alcune basi non mi viene facile comprendere tutto. Non riesco a capire come sei arrivato a 10 disposizioni per due palline dello stesso colore, come le calcoli le posizioni?

[milizia96]

Il disporre le due palline uguali rispetto alle altre tre, possiamo dire che equivale, ad esempio, a trovare tutti gli anagrammi(anche quelli senza significato) di AABBB.
Infatti è come se rappresentassimo con A una delle due palline con lo stesso colore, e con B le altre 3.
In questo caso si può trovare il numero di disposizioni anche provando tutti i casi uno per uno:
1) AABBB
2) ABABB
3) ABBAB
4) ABBBA
5) BAABB
6) BABAB
7) BABBA
8) BBAAB
9) BBABA
10) BBBAA

in tutto sono appunto 10 differenti modi di disporre le due palline uguali rispetto alle altre.
Se però avessimo a che fare con numeri più elevati, sarebbe impensabile elencare tutti gli anagrammi uno ad uno.
Si può ricorrere quindi a questa formula:
\( \displaystyle \text{numero di anagrammi}=\frac{{{n}!}}{{{a}_{{1}}!\cdot{a}_{{2}}!\cdot{a}_{{3}}!\cdot{a}_{{4}}!\cdot\ldots..\cdot{a}_{{i}}!}} \)
Dove \( \displaystyle {n} \) è il numero di lettere di cui è composta la parola;
\( \displaystyle {a}_{{1}},{a}_{{2}} \) ecc... indicano il numero di volte in cui compare la prima lettera, il numero di volte in cui compare la seconda e così via.

La parola AABBB è formata da 5 lettere, la A si ripete 2 volte, la B si ripete 3 volte. Quindi:
\( \displaystyle \text{numero di anagrammi di AABBB}=\frac{{{5}!}}{{{2}!\cdot{3}!}}=\frac{{{5}\cdot{4}\cdot{3}\cdot{2}}}{{{2}\cdot{3}\cdot{2}}}={10} \)

[giannirecanati]

Scusa milizia, potresti spiegarmi una cosa?
Io nel primo post ho commesso un errore, il risultato non viene ricontrollando bene i conti, comunque volevo capire perchè il modo di scegliere l'ultima pallina è solo 3. Ecco io ho ragionato così: siccome ho 4 palline differenti io potrei scegliere l'ultima pallina in 3*4 (le tre palline rimanenti dei colori usciti) modi, ma così il risultato non viene.

[bibbolo]

Inoltre abbiamo: 32 possibilità per scegliere la prima pallina;
28 per scegliere la seconda;
24 per la terza;
20 per la quarta;
3 per quella che si ripete.

Non ho capito, perché 28 possibilità per la seconda, 24 per la terza.. ecc?

Il disporre le due palline uguali rispetto alle altre tre, possiamo dire che equivale, ad esempio, a trovare tutti gli anagrammi(anche quelli senza significato) di AABBB.
in tutto sono appunto 10 differenti modi di disporre le due palline uguali rispetto alle altre.

Ok mi sta bene, ma le nostre palline dello stesso colore non sono solo 2, sono 4, quindi non dovremmo moltiplicare il risultato ottenuto per 2? Se chiamiamo con \( \displaystyle {A}_{{1}},{A}_{{2}},{A}_{{3}},{A}_{{4}} \) le 4 palline dello stesso colore allora non dovrò anagrammare \( \displaystyle {A}_{{1}}{A}_{{2}}{B}{B}{B} \) e \( \displaystyle {A}_{{3}}{A}_{{4}}{B}{B}{B} \) ?

[milizia96]

ma le nostre palline dello stesso colore non sono solo 2, sono 4

Io stavo considerando esclusivamente le palline che vengono estratte.

perché 28 possibilità per la seconda, 24 per la terza.. ecc?

volevo capire perché il modo di scegliere l'ultima pallina è solo 3.

Immaginiamo di aver già estratto le 5 palline. Noi potremmo tranquillamente ordinarle come preferiamo, tanto questo non influenza il risultato dell'estrazione. Quindi supponiamo di ordinarle in modo da mettere le tre palline diverse tra loro in posizione 1,2 e 3, mentre le due palline uguali per ultime, cioè rispettivamente in quarta e quinta posizione.
Possiamo fare questo ragionamento perché abbiamo già considerato separatamente (con gli anagrammi) il "vero ordine" di estrazione.

Come è ovvio, la prima pallina può essere scelta tra 32.
Ora la seconda deve essere diversa dalla prima, e ce ne sono solo 28 che non sono dello stesso colore della prima.
La terza deve essere diversa sia dalla prima, che dalla seconda: possiamo scegliere tra 24
Lo stesso ragionamento per la quarta, che può essere scelta tra 20.
La quinta è dello stesso colore della quarta, e può essere scelta tra 3, perché una uguale è stata già pescata.

Sono riuscito a risolvere i vostri dubbi o avete ancora qualche incertezza?

[giannirecanati]

Grazie, adesso è chiaro.