Calcolo di \( \displaystyle {A}{\left({G}\right)},{\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)},{\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)} \)

[deserto]

Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo di ordine finito \( \displaystyle {n} \).
Allora \( \displaystyle {o}{\left({A}{\left({G}\right)}\right)}={n}! \).
So che è \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)}\approx{G}\//{Z}{\left({G}\right)} \) quindi \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)}\right)}={o}{\left({G}\//{Z}{\left({G}\right)}\right)}=\frac{{n}}{{{o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}}} \).
Ma cosa posso dire di \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)}\right)} \) ?
Avendosi che \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)} \) che a sua volta è un sottogruppo di \( \displaystyle {A}{\left({G}\right)} \) direi che si ha:
\( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)}\right)} \) divide \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)}\right)} \) che divide \( \displaystyle {o}{\left({A}{\left({G}\right)}\right)} \).
So solo che se \( \displaystyle {G} \) è ciclico e di ordine finito allora \( \displaystyle {\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)}\approx{U}_{{n}} \) dove \( \displaystyle {U}_{{n}} \) è il gruppo degli interi minori di \( \displaystyle {n} \) e relativamente primi con \( \displaystyle {n} \) rispetto alla moltiplicazione modulo \( \displaystyle {n} \), quindi \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)}\right)}=\varphi{\left({n}\right)} \) dove \( \displaystyle \varphi \) è la funzione di Eulero. Ma negli altri casi abbiamo delle formule preconfezionate?
Con \( \displaystyle {\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)} \) e \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)} \) intendo rispettivamente i gruppi degli automorfismi e degli automorfismi interni di \( \displaystyle {G} \).

Nel caso specifico di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) si ha \( \displaystyle {S}_{{3}}\approx{\mathcal{{I}}}{\left({S}_{{3}}\right)} \) essendo \( \displaystyle {Z}{\left({S}_{{3}}\right)}={\left\lbrace{e}={\left({123}\right)}\right\rbrace} \), quindi \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{I}}}{\left({S}_{{3}}\right)}\right)}={6} \) e \( \displaystyle {o}{\left({A}{\left({S}_{{3}}\right)}\right)}={6}!={720} \), pertanto in definitiva per \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{A}}}{\left({S}_{{3}}\right)}\right)} \) avrei 16 possibilità: 6,12,18,20,30,36,48,60,72,90,120,144,180,240,360,720.

[Martino]

Per \( \displaystyle {A}{\left({G}\right)} \) intendi il gruppo delle biiezioni \( \displaystyle {G}\to{G} \) vero?

La determinazione degli automorfismi di un dato gruppo finito \( \displaystyle {G} \) non è facile, e la sua difficoltà varia a seconda del gruppo \( \displaystyle {G} \).

Per quanto riguarda i gruppi classici lo si è fatto. Per esempio si è dimostrato che:

Teorema (automorfismi del gruppo simmetrico): se \( \displaystyle {n}\ge{3} \) e \( \displaystyle {n}\ne{6} \) allora \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{n}}\right)}={S}_{{n}} \).

Per esempio per mostrare che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{3}}\right)}={S}_{{3}} \) osserva che ogni automorfismo di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) permuta \( \displaystyle {\left({12}\right)} \), \( \displaystyle {\left({13}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({23}\right)} \), quindi \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{3}}\right)} \) si immerge in \( \displaystyle {S}_{{3}} \) (tramite l'omomorfismo che manda \( \displaystyle \gamma \) nella permutazione che manda \( \displaystyle {i} \) nel punto fissato dall'immagine tramite \( \displaystyle \gamma \) della trasposizione che fissa \( \displaystyle {i} \)) e hai concluso.

Invece \( \displaystyle {S}_{{6}} \) ha indice \( \displaystyle {2} \) in \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \).

[misanino]

Se per \( \displaystyle {A}{\left({G}\right)} \) intendi gli automorfismi del gruppo,
cosa intendi per \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)} \) e per \( \displaystyle {\mathcal{{A}}}{\left({G}\right)} \)?

[deserto]

Per \( \displaystyle {A}{\left({G}\right)} \) intendi il gruppo delle biiezioni \( \displaystyle {G}\to{G} \) vero?

Esattamente

Teorema (automorfismi del gruppo simmetrico): se \( \displaystyle {n}\ge{3} \) e \( \displaystyle {n}\ne{6} \) allora \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{n}}\right)}={S}_{{n}} \).

E' un teorema che per il momento non ho ancora affrontato.

Quindi se \( \displaystyle {n}\ge{3} \) e \( \displaystyle {n}\ne{6} \) allora \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{n}}\right)}\approx{S}_{{n}} \) si ha pure \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}{\left({S}_{{n}}\right)}\approx{S}_{{n}} \) da cui \( \displaystyle {Z}{\left({S}_{{n}}\right)}={\left\lbrace{e}\right\rbrace} \). Pertanto se \( \displaystyle {n}\ge{3} \) e \( \displaystyle {n}\ne{6} \) \( \displaystyle {S}_{{n}} \) non è abeliano e di conseguenza non è neanche ciclico. Dico bene?

Per esempio per mostrare che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{3}}\right)}={S}_{{3}} \) osserva che ogni automorfismo di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) permuta \( \displaystyle {\left({12}\right)} \), \( \displaystyle {\left({13}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({23}\right)} \), quindi \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{3}}\right)} \) si immerge in \( \displaystyle {S}_{{3}} \) (tramite l'omomorfismo che manda \( \displaystyle \gamma \) nella permutazione che manda \( \displaystyle {i} \) nel punto fissato dall'immagine tramite \( \displaystyle \gamma \) della trasposizione che fissa \( \displaystyle {i} \)) e hai concluso.

Non ho proprio capito come è fatta questa applicazione, ma ci penso su ed eventualmente posterò qualche osservazione in seguito.

Invece \( \displaystyle {S}_{{6}} \) ha indice \( \displaystyle {2} \) in \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \).

Quindi significa che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \) ha ordine \( \displaystyle \frac{{{6}!}}{{2}} \) ?

Grazie.

[Martino]

se \( \displaystyle {n}\ge{3} \) e \( \displaystyle {n}\ne{6} \) \( \displaystyle {S}_{{n}} \) non è abeliano e di conseguenza non è neanche ciclico. Dico bene?

Dici bene, ma non serve quel teorema per dimostrare che \( \displaystyle {S}_{{n}} \) non è abeliano per \( \displaystyle {n}\ge{3} \): basta per esempio mostrare che \( \displaystyle {\left({12}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({13}\right)} \) non commutano.

Invece \( \displaystyle {S}_{{6}} \) ha indice \( \displaystyle {2} \) in \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \).

Quindi significa che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \) ha ordine \( \displaystyle \frac{{{6}!}}{{2}} \)?

No, ha ordine \( \displaystyle {2}\cdot{6}! \).

[deserto]

Abbiamo tralasciato di considerare \( \displaystyle {S}_{{2}} \).
So che \( \displaystyle {S}_{{2}} \) è abeliano e che \( \displaystyle {o}{\left({S}_{{2}}\right)}={2} \), pertanto si hanno \( \displaystyle {o}{\left({A}{\left({S}_{{2}}\right)}\right)}={2} \), \( \displaystyle {o}{\left({\mathcal{{I}}}{\left({S}_{{2}}\right)}\right)}={1} \).
Ci sono pertanto solo due biiezioni da \( \displaystyle {S}_{{2}} \) in sè ed entrambe sono omomorfismi, quindi possiamo scrivere: \( \displaystyle {S}_{{2}}\approx{A}{\left({S}_{{2}}\right)}\approx{A}{u}{t}{\left({S}_{{2}}\right)} \) ; l'identità è l'unica ad essere un automorfismo interno.

[Martino]

Ci sono pertanto solo due biiezioni da \( \displaystyle {S}_{{2}} \) in sè ed entrambe sono omomorfismi

No, l'unico automorfismo di \( \displaystyle {S}_{{2}} \) è l'identità. Lo scambio \( \displaystyle {1}\to{\left({12}\right)}\to{1} \) non è omomorfismo perché non fissa \( \displaystyle {1} \).

D'altra parte vale un risultato più generale: detto \( \displaystyle {C}_{{n}} \) il gruppo ciclico di ordine \( \displaystyle {n} \), se \( \displaystyle {p} \) è un primo si ha \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({C}_{{p}}\right)}\stackrel{\sim}{=}{C}_{{{p}-{1}}} \), come ti avevo segnalato nel filone in cui abbiamo parlato dei gruppi di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \).

[deserto]

Ciao, hai perfettamente ragione: avevo sbagliato a fare i calcoli sul foglio. L'unico omomorfismo tra \( \displaystyle {S}_{{2}} \) ed \( \displaystyle {S}_{{2}} \) è l'applicazione identica che è anche un automorfismo interno. Pertanto: \( \displaystyle {S}{2}\stackrel{\sim}{=}{A}{\left({S}{2}\right)} \) e \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}{2}\right)}={\mathcal{{I}}}{\left({S}_{{2}}\right)} \).

[deserto]

Studiamo un caso concreto: sia \( \displaystyle {G}{\left\lbrace{e},{a},{b},{a}{b}\right\rbrace} \) un gruppo di ordine \( \displaystyle {4} \) con \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}={e},{a}{b}={b}{a} \); si vuole calcolare \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)} \).
Innanzitutto noto che essendo \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)}={4} \) avrò \( \displaystyle {o}{\left({A}{\left({G}\right)}\right)}={24} \) e che, essengo \( \displaystyle {G} \) abeliano si ha \( \displaystyle {G}={Z}{\left({G}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}{\left({G}\right)} \) è costituito dalla sola funzione identità. Posso anche dire che \( \displaystyle {G} \) è generato da \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) ossia \( \displaystyle {G}=\lt{a},{b}\gt \).
Tornando alla richiesta dell'esercizio, se \( \displaystyle {T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) si avrebbe in particolare \( \displaystyle {T}{\left({a}{b}\right)}={T}{\left({a}\right)}{T}{\left({b}\right)} \) da cui vedo che devo scartare tutte le biiezioni in cui \( \displaystyle {a} \) o \( \displaystyle {b} \) o \( \displaystyle {a}{b} \) hanno come immagine \( \displaystyle {e} \), ossia \( \displaystyle {T} \) deve lasciare fisso \( \displaystyle {e} \). Facendo qualche calcolo ottengo che \( \displaystyle {o}{\left({A}{u}{t}{\left({G}\right)}\right)}={6} \) e che i suoi elementi sono: l'identità,
\( \displaystyle {T}_{{1}} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{1}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{1}}{\left({a}\right)}={a}{b},{T}_{{1}}{\left({b}\right)}={b},{T}_{{1}}{\left({a}{b}\right)}={a} \),
\( \displaystyle {T}_{{2}} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{2}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{2}}{\left({a}\right)}={a},{T}_{{2}}{\left({b}\right)}={a}{b},{T}_{{2}}{\left({a}{b}\right)}={b} \)
\( \displaystyle {T}_{{3}} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{3}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{3}}{\left({a}\right)}={b},{T}_{{3}}{\left({b}\right)}={a},{T}_{{3}}{\left({a}{b}\right)}={a}{b} \)
\( \displaystyle {T}_{{4}} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{4}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{4}}{\left({a}\right)}={b},{T}_{{4}}{\left({b}\right)}={a}{b},{T}_{{4}}{\left({a}{b}\right)}={a} \)
\( \displaystyle {T}_{{5}} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{5}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{5}}{\left({a}\right)}={a}{b},{T}_{{5}}{\left({b}\right)}={a},{T}_{{5}}{\left({a}{b}\right)}={b} \)
Ho fatto bene? Qualche osservazione?
Grazie

[Martino]

Dici bene, ma per quanto riguarda i gruppi \( \displaystyle {C_p}^n \) c'è un ottimo metodo per calcolare gli automorfismi. Immagino che tu conosca il campo \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) . Bene, \( \displaystyle {C_p}^n \) lo puoi vedere come lo spazio vettoriale di dimensione \( \displaystyle n \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) , chiamalo \( \displaystyle V \) . Allora un automorfismo del gruppo additivo \( \displaystyle V \) non è altro che un isomorfismo lineare \( \displaystyle V \to V \) sul campo \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) (attenzione: questo non sarebbe stato vero se il campo base non avesse avuto un numero primo di elementi). Quindi il gruppo degli automorfismi di \( \displaystyle V \) è proprio il gruppo delle matrici invertibili \( \displaystyle n \times n \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) , denotato con \( \displaystyle GL(n,p) \) .

Nel tuo caso \( \displaystyle G={C_2}^2 \) (se hai un gruppo abeliano di consiglio di scriverlo subito come prodotto diretto di ciclici) e si può vedere che \( \displaystyle Aut({C_2}^2) = GL(2,2) \cong S_3 \) (non è difficile: ci sono solo due gruppi di ordine 6).