Calcolo di $A(G), ccI(G), ccA(G)$

[deserto]

Sia $G$ un gruppo di ordine finito $n$.
Allora $o(A(G))=n!$.
So che è $ccI(G)~~G//Z(G)$ quindi $o(ccI(G))=o(G//Z(G))=n/(o(Z(G)))$.
Ma cosa posso dire di $o(ccA(G))$ ?
Avendosi che $ccI(G)$ è un sottogruppo di $ccA(G)$ che a sua volta è un sottogruppo di $A(G)$ direi che si ha:
$o(ccI(G))$ divide $o(ccA(G))$ che divide $o(A(G))$.
So solo che se $G$ è ciclico e di ordine finito allora $ccA(G)~~U_n$ dove $U_n$ è il gruppo degli interi minori di $n$ e relativamente primi con $n$ rispetto alla moltiplicazione modulo $n$, quindi $o(ccA(G))=\varphi(n)$ dove $\varphi$ è la funzione di Eulero. Ma negli altri casi abbiamo delle formule preconfezionate?
Con $ccA(G)$ e $ccI(G)$ intendo rispettivamente i gruppi degli automorfismi e degli automorfismi interni di $G$.

Nel caso specifico di $S_3$ si ha $S_3~~ccI(S_3)$ essendo $Z(S_3)={e=(123)}$, quindi $o(ccI(S_3))=6$ e $o(A(S_3))=6! =720$, pertanto in definitiva per $o(ccA(S_3))$ avrei 16 possibilità: 6,12,18,20,30,36,48,60,72,90,120,144,180,240,360,720.

[Martino]

Per $A(G)$ intendi il gruppo delle biiezioni $G to G$ vero?

La determinazione degli automorfismi di un dato gruppo finito $G$ non è facile, e la sua difficoltà varia a seconda del gruppo $G$.

Per quanto riguarda i gruppi classici lo si è fatto. Per esempio si è dimostrato che:

Teorema (automorfismi del gruppo simmetrico): se $n ge 3$ e $n ne 6$ allora $Aut(S_n)=S_n$.

Per esempio per mostrare che $Aut(S_3)=S_3$ osserva che ogni automorfismo di $S_3$ permuta $(12)$, $(13)$ e $(23)$, quindi $Aut(S_3)$ si immerge in $S_3$ (tramite l'omomorfismo che manda $gamma$ nella permutazione che manda $i$ nel punto fissato dall'immagine tramite $gamma$ della trasposizione che fissa $i$) e hai concluso.

Invece $S_6$ ha indice $2$ in $Aut(S_6)$.

[misanino]

Se per $A(G)$ intendi gli automorfismi del gruppo,
cosa intendi per $ccI(G)$ e per $ccA(G)$?

[deserto]

Per $A(G)$ intendi il gruppo delle biiezioni $G to G$ vero?

Esattamente

Teorema (automorfismi del gruppo simmetrico): se $n ge 3$ e $n ne 6$ allora $Aut(S_n)=S_n$.

E' un teorema che per il momento non ho ancora affrontato.

Quindi se $n ge 3$ e $n ne 6$ allora $Aut(S_n)~~S_n$ si ha pure $ccI(S_n)~~S_n$ da cui $Z(S_n)={e}$. Pertanto se $n ge 3$ e $n ne 6$ $S_n$ non è abeliano e di conseguenza non è neanche ciclico. Dico bene?

Per esempio per mostrare che $Aut(S_3)=S_3$ osserva che ogni automorfismo di $S_3$ permuta $(12)$, $(13)$ e $(23)$, quindi $Aut(S_3)$ si immerge in $S_3$ (tramite l'omomorfismo che manda $gamma$ nella permutazione che manda $i$ nel punto fissato dall'immagine tramite $gamma$ della trasposizione che fissa $i$) e hai concluso.

Non ho proprio capito come è fatta questa applicazione, ma ci penso su ed eventualmente posterò qualche osservazione in seguito.

Invece $S_6$ ha indice $2$ in $Aut(S_6)$.

Quindi significa che $Aut(S_6)$ ha ordine $(6!)/2$ ?

Grazie.

[Martino]

se $n ge 3$ e $n ne 6$ $S_n$ non è abeliano e di conseguenza non è neanche ciclico. Dico bene?

Dici bene, ma non serve quel teorema per dimostrare che $S_n$ non è abeliano per $n ge 3$: basta per esempio mostrare che $(12)$ e $(13)$ non commutano.

Invece $S_6$ ha indice $2$ in $Aut(S_6)$.

Quindi significa che $Aut(S_6)$ ha ordine $(6!)/2$?

No, ha ordine $2*6!$.

[deserto]

Abbiamo tralasciato di considerare $S_2$.
So che $S_2$ è abeliano e che $o(S_2)=2$, pertanto si hanno $o(A(S_2))=2$, $o(ccI(S_2))=1$.
Ci sono pertanto solo due biiezioni da $S_2$ in sè ed entrambe sono omomorfismi, quindi possiamo scrivere: $S_2 ~~ A(S_2) ~~ Aut(S_2)$ ; l'identità è l'unica ad essere un automorfismo interno.

[Martino]

Ci sono pertanto solo due biiezioni da $S_2$ in sè ed entrambe sono omomorfismi

No, l'unico automorfismo di $S_2$ è l'identità. Lo scambio $1 to (12) to 1$ non è omomorfismo perché non fissa $1$.

D'altra parte vale un risultato più generale: detto $C_n$ il gruppo ciclico di ordine $n$, se $p$ è un primo si ha $Aut(C_p) cong C_{p-1}$, come ti avevo segnalato nel filone in cui abbiamo parlato dei gruppi di ordine $p^2$.

[deserto]

Ciao, hai perfettamente ragione: avevo sbagliato a fare i calcoli sul foglio. L'unico omomorfismo tra $S_2$ ed $S_2$ è l'applicazione identica che è anche un automorfismo interno. Pertanto: $S2 cong A(S2)$ e $Aut(S2) = ccI(S_2)$.

[deserto]

Studiamo un caso concreto: sia $G{e, a, b, ab}$ un gruppo di ordine $4$ con $a^2=b^2=e, ab=ba$; si vuole calcolare $Aut(G)$.
Innanzitutto noto che essendo $o(G)=4$ avrò $o(A(G))=24$ e che, essengo $G$ abeliano si ha $G=Z(G)$ e quindi $ccI(G)$ è costituito dalla sola funzione identità. Posso anche dire che $G$ è generato da $a$ e $b$ ossia $G= <a,b>$.
Tornando alla richiesta dell'esercizio, se $T in Aut(G)$ si avrebbe in particolare $T(ab)=T(a)T(b)$ da cui vedo che devo scartare tutte le biiezioni in cui $a$ o $b$ o $ab$ hanno come immagine $e$, ossia $T$ deve lasciare fisso $e$. Facendo qualche calcolo ottengo che $o(Aut(G))=6$ e che i suoi elementi sono: l'identità,
$T_1$ tale che $T_1(e)=e, T_1(a)=ab, T_1(b)=b, T_1(ab)=a$,
$T_2$ tale che $T_2(e)=e, T_2(a)=a, T_2(b)=ab, T_2(ab)=b$
$T_3$ tale che $T_3(e)=e, T_3(a)=b, T_3(b)=a, T_3(ab)=ab$
$T_4$ tale che $T_4(e)=e, T_4(a)=b, T_4(b)=ab, T_4(ab)=a$
$T_5$ tale che $T_5(e)=e, T_5(a)=ab, T_5(b)=a, T_5(ab)=b$
Ho fatto bene? Qualche osservazione?
Grazie

[Martino]

Dici bene, ma per quanto riguarda i gruppi \( \displaystyle {C_p}^n \) c'è un ottimo metodo per calcolare gli automorfismi. Immagino che tu conosca il campo \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) . Bene, \( \displaystyle {C_p}^n \) lo puoi vedere come lo spazio vettoriale di dimensione \( \displaystyle n \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) , chiamalo \( \displaystyle V \) . Allora un automorfismo del gruppo additivo \( \displaystyle V \) non è altro che un isomorfismo lineare \( \displaystyle V \to V \) sul campo \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) (attenzione: questo non sarebbe stato vero se il campo base non avesse avuto un numero primo di elementi). Quindi il gruppo degli automorfismi di \( \displaystyle V \) è proprio il gruppo delle matrici invertibili \( \displaystyle n \times n \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) , denotato con \( \displaystyle GL(n,p) \) .

Nel tuo caso \( \displaystyle G={C_2}^2 \) (se hai un gruppo abeliano di consiglio di scriverlo subito come prodotto diretto di ciclici) e si può vedere che \( \displaystyle Aut({C_2}^2) = GL(2,2) \cong S_3 \) (non è difficile: ci sono solo due gruppi di ordine 6).