Buonasera
In rete ho trovato questo esercizio:
Dato un gruppo $G$ di ordine $p^2$, con $p$ numero primo, si provi che
- se $G$ è ciclico allora $o(ccAut(G))=p(p-1)$
- se $G$ non è ciclico allora $o(ccAut(G))=p(p-1)^2(p+1)$
Innanzitutto so che i gruppi di ordine $p^2$, con $p$ numero primo, sono tutti abeliani. So inoltre che tali gruppi o sono isomorfi a $ZZ_(p^2)$ (e in tale caso sono ciclici) oppure a $ZZ_p x ZZ_p$ (e in tale caso non sono ciclici).
Per quello che riguarda i gruppi ciclici è sufficirente applicare la funzione di Eulero poichè $ccAut(G)$ è isomorfo al gruppo degli interi minori di $p^2$ e relativamente primi con $p^2$ stesso.
Sembra anche che questo fatto si possa generalizzare a $o(G)=p^n$, $n$ numero naturale positivo, ottenendo $o(ccAut(G))=p^(n-1)(p-1)$
Ma come faccio ad individuare $o(ccAut(G))$ nel caso in cui $G$ non sia ciclico?
Si tratta forse di trovare una formula che coinvolga $ccAut(ZZ_p)$? Come sopra di $ccAut(ZZ_p)$ so che essendo $ZZ_p$ ciclico di ordine $p$ allora $ccAut(ZZ_p)$ è isomorfo al gruppo degli interi minori di $p$ e relativamente primi con $p$ e quindi $ccAut(ZZ_p)=p-1$.
Sicuramente è $ccAut(ZZ_p x ZZ_p)!=ccAut(ZZ_p)ccAut(ZZ_p)$ poichè se così non fosse non otterrei il risultato richiesto, ho provato anche a modificare tale formula ma ancora è $ccAut(ZZ_p x ZZ_p)!=ccAut(ZZ_p)ccAut(ZZ_p)ccAut(ZZ_((p+1)^2))$ tra l'altro se valesse tale formula non avrei il risultato giusto lo stesso perchè $p+1$ non sarebbe primo se non nel caso $p=2$.
In pratica vi chiederei se conoscete una formula che coinvolga automorfismi di prodotti di gruppi con gli automorfismi dei gruppi stessi, ossia una formula che lega $Aut(H x K)$ a $Aut(H)$ e $Aut(K)$ o almeno i loro rispettivi ordini.
Grazie.