[Teoria dei Sistemi]Calcolo guadagno con poli in zero

[Ronin]

Ciao a tutti, volevo chiedere un info,

Avengo una f.d.t. del genere

\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{{s}+{1}}}{{{\left({{s}}^{{2}}+{3}{s}+{2}\right)}}} \)

Basta che S = 0 e quindi

\( \displaystyle {G}{\left({0}\right)}=\frac{{1}}{{2}}={K} \)

Ma nel caso in cui io abba un polo in zero?

\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{{s}+{1}}}{{{s}\cdot{\left({{s}}^{{2}}+{3}{s}+{2}\right)}}} \)

Un mio compagno mi ha detto che, basta annullare questo polo, ma vorrei sapere anche come e perché annullo queso polo.

Grazie anticipatamente.

[Ska]

Il guadagno del sistema è definito come il valore a cui tende l'uscita dato in ingresso uno scalino unitario. Grazie ai teoremi sul valore iniziale e finale, si può vedere che se esiste \( \displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty} y(t) \) allora questo è uguale a \( \displaystyle \lim_{s\rightarrow 0} sY(s) \) che nel caso descritto equivale a \( \displaystyle \lim_{s\rightarrow 0} G(s) \) .

Ora... nel caso ci sia un polo in zero, il guadagno sarà infinito, guardando il diagramma di bode del modulo per \( \displaystyle \omega\rightarrow 0 \Rightarrow |G(i\omega)| \rightarrow +\infty \) .

Se però volevi il guadagno della fdt, ovvero il \( \displaystyle \mu \) della forma generale di una fdt \( \displaystyle G(s) =\frac{\mu \prod_i (T_i s + 1)}{s^g \prod_j (T_j s +1)} \) , allora ti basta "eliminare il termine \( \displaystyle s^g \) e considerare il limite per \( \displaystyle s\rightarrow 0 \) ".

[Ronin]

Ok quindi se mi si chiede di, spiegare il calcolo del guadagno di una f.d.t.

\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{{s}+{1}}}{{{\left({{s}}^{{2}}+{3}{s}+{2}\right)}}} \)

Quello che dovrò dire sarà:

Sapendo che il guadagno è il valore a cui tende la funzione applicando in ingresso il gradino unitario,applicando il teorema del valore finale:

\( \displaystyle \lim_{{{s}\to{0}}}{s}{Y}{\left({s}\right)} \)

Dove:

\( \displaystyle {Y}{\left({s}\right)}=\frac{{1}}{{s}}\cdot{G}{\left({s}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{I}{l}{c}{h}{e}{c}{i}{r}{i}{c}{o}{n}{d}{u}{r}{r}{e}{\mathbf{{e}}}{a}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)lim_(s -> 0)G(s)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{e}{r}ò{a}{n}{c}{\quad\text{or}\quad}{a}{n}{o}{n}{h}{o}\cap{i}\to{q}{u}{\quad\text{and}\quad}{o}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)G(s) = [s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{C}{h}{e}{t}{r}{a}{\dot{\to}}{c}{o}{n}{t}{u}{\mathtt{{o}}}{q}{u}{a}{n}\to{s}{u}{\det{\to}}\div{e}{r}{r}{e}{\mathbf{{e}}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)lim_(s -> 0)[s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{C}{h}{e}{n}{a}{t}{u}{r}{a}{l}{m}{e}{n}{t}{e}è\in{f{\in}}{i}\to\ldots{q}{u}{e}{s}\to{m}{i}{r}{i}{c}{o}{n}{d}{u}{c}{e}{a}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)lim_(s -> 0^+)[s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]$

???