Calcolo numerico, piccoli dubbi.

[truppeid]

Salve a tutti, sono uno studente universitario alle prese con il calcolo numerico.
Mi sto preparando per l'esame orale, ma alcuni concetti non mi sono chiari (forse perché spiegati male nelle dispense che ho).

Non riesco a capire alcuni passaggi di alcune dimostrazioni di "teoremi", ovvero:

-Dimostrazione che una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi.

La dimostrazione inizia prendendo una matrice A def positiva e un suo autovalore lambda (l). A questo punto so che esiste un vettore v \( \displaystyle {v}\ne{0} \) / \( \displaystyle {A}{v}={l}{v} \) (per quale teorema so che esiste tale vettore?) , a questo punto la dimostrazione che ho studiato consiglia di moltiplicare ambo i membri per il vettore \( \displaystyle {{\left({v}\right)}}^{{{T}}} \) ottenendo quindi \( \displaystyle {{\left({v}\right)}}^{{{T}}}{A}{v}={{\left({v}\right)}}^{{{T}}}{l}{v} \) ( non capisco il perché, c'è un teorema?) per poi trovare l=v^TAv/v^Tv >0.
A questo punto la dimostrazione prosegue dimostrando che quanto appena affermato è valido per ogni \( \displaystyle {v}\ne{0} \) scelto.
Per farlo utilizza una base di autovettori di A di cui v può essere scritto come combinazione lineare, ovvero \( \displaystyle {v}= \) sommatoria di \( \displaystyle {u}{\left({i}\right)}\cdot\epsilon{\left({i}\right)} \) , e inoltre introduce un elemento \( \displaystyle {p} \) / \( \displaystyle \epsilon{\left({p}\right)}\ne{0} \) (il problema è che non capisco da cosa derivano questi due epsilon, cosa sono?) poi andando a sostituire la sommatoria in \( \displaystyle {{v}}^{{{T}}}{A}{v} \) , ottengo, alla fine che la sommatoria \( \displaystyle \epsilon{{\left({i}\right)}}^{{2}}{l}\ge\epsilon{{\left({p}\right)}}^{{2}}{l}{\left({p}\right)}\gt{0} \)

-Dimostrazione dell'irriducibilità di una matrice tramite grafo di adiacenza
Questo teorema l'ho capito ma non trovo la dimostrazione

-Dimostrazione dell'applicabilità di Gauss a matrici definite positive

Stando sempre alla dimostrazione che ho seguito, considero i minori principali di testa di A def positiva, essi sono def positivi, quindi Gauss è applicabile perché i minori sono invertibili. Inoltre sappiamo che gli elementi sulla diagonale di U sono tutti positivi.
A questo punto la dimostrazione pone \( \displaystyle {u}{\left({k}{k}\right)}={a}{\left({k}{k}\right)} \) da cui ne segue che \( \displaystyle {u}{\left({11}\right)}={\det{{\left({M}{\left({1}\right)}\right)}}}\gt{0} \) quindi \( \displaystyle {u}{\left({k}{k}\right)}=\frac{{\det{{\left({M}{\left({k}\right)}\right)}}}}{{\det{{\left({M}{\left({k}-{1}\right)}\right)}}}}\gt{0} \) (per quale teorema vale questa cosa?)


Ringrazio chiunque vorrà darmi una mano, non mi servono spiegazioni puntigliose, cerco solo una chiarimento ai miei dubbi, quelli che sono tra parentesi (in corsivo e grassetto xD), il resto l'ho capito abbastanza bene.
Saluti