Calcolo somma parziale in una serie numerica....help

[pmic]

Ciao a tutti.

Mi sto esercitando sulle serie numeriche e il mio problema è questo.

Data questa serie devo calcolare la ridotta e dire se è convergente.
Da libro la somma parziale deve essere `1/2`.

`sum(1/(n+2)-1/(n+3))` con `n` da `0` a inf

Allora ecco il mio svolgimento:

`S=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+.....+(1/(n+1)-1/(n+2))+(1/(n+2)-1/(n+3))`

Semplificando pero non mi torna 1/2...

Come devo fare?
Come faccio a capire dove mi devo fermare a sviluppare?

Grazie.Ciao.

[miuemia]

per vedere che è convergente basta notare che il termine generale della serie è \( \displaystyle {a}_{{n}}=\frac{{1}}{{{n}+{2}}}-\frac{{1}}{{{n}+{3}}}=\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)}}} \) e quindi per confronto con la serie di \( \displaystyle \frac{{1}}{{{{n}}^{{2}}}} \) converge.

ciao

[pmic]

Si però il mio problema è che non riesco a calcolare la somma parziale che deve tornare 1/2.

Come faccio?
Ciao.

[miuemia]

scusa cosa intendi per somma parziale???puoi scriverla

[pmic]

Intendo il calcolo della ridotta della serie.

Allora ecco il mio svolgimento:

$S_n=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+.....+(1/(n+1)-1(n/(n+2))+(1/(n+2)-1/(n+3))

Semplificando pero non mi torna 1/2...

[karl]

La somma parziale n-esima ,a semplificazioni avvenute ,e':
\( \displaystyle {S}_{{n}}=\frac{{1}}{{2}}-\frac{{1}}{{{n}+{3}}} \) e quindi passando al limite:
\( \displaystyle {S}=\lim_{{{n}\to\infty}}{S}_{{n}}=\frac{{1}}{{2}} \)
karl

[miuemia]

karl ti ha risp molto bene

[pmic]

Allora io svolgo cosi:

`S=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+.....+(1/(n+1)-1/(n+2))+(1/(n+2)-1/(n+3))`

Pero poi mi rimane fuori

`S=1/2-1/5+1/(n+1)-1/(n+3))`

Dove sbaglio??

Grazie ancora.

[miuemia]

allora
\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}-{13}+\frac{{1}}{{3}}-\frac{{1}}{{4}}+\frac{{1}}{{4}}-\frac{{1}}{{5}}+\frac{{1}}{{5}}\ldots..+\frac{{1}}{{n}}-\frac{{1}}{{{n}+{1}}}+\frac{{1}}{{{n}+{1}}}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}+\frac{{1}}{{{n}+{2}}}-\frac{{1}}{{{n}+{3}}}=\frac{{1}}{{2}}-\frac{{1}}{{{n}+{3}}} \)
ok?

[pmic]

allora
\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}-\frac{{1}}{{3}}+\frac{{1}}{{3}}-\frac{{1}}{{4}}+\frac{{1}}{{4}}-\frac{{1}}{{5}}+\frac{{1}}{{5}}\ldots..+\frac{{1}}{{n}}-\frac{{1}}{{{n}+{1}}}+\frac{{1}}{{{n}+{1}}}-\frac{{1}}{{{n}+{2}}}+\frac{{1}}{{{n}+{2}}}-\frac{{1}}{{{n}+{3}}}=\frac{{1}}{{2}}-\frac{{1}}{{{n}+{3}}} \)
ok?

\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}-\frac{{1}}{{3}}+\frac{{1}}{{3}}-\frac{{1}}{{4}}+\frac{{1}}{{4}}-\frac{{1}}{{5}}+\frac{{1}}{{5}} \)
Scusa ma arrivato qui perche non scrivi anche l'altro termine ovvero -1/7? Perche lo lasci stare?