Cambiamento di base

[Lullaby]

Ho trovato un esercizio che non riesco a completare (che sono sicura mi capiterà all'esame) potreste aiutarmi?
Sia V=\( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[t] lo spazio dei polinomi \( \displaystyle \le \) 2 e W lo spazio delle matrici simmetriche 2x2; data l'applicazione lineare \( \displaystyle {f{:}}{V}\to{W} \) definita da f(a+\( \displaystyle {b}\cdot{t} \)+\( \displaystyle {c}\cdot{t} \)^2)=\( \displaystyle {\left[\matrix{{a}-{b}&{a}+{c}\\{a}+{c}&{a}-{b}}\right]} \) Si scriva la matrice A\( \displaystyle =_{{B}}' \)\( \displaystyle {\left[{f}\right]}_{{B}} \) che esprime f rispetto alle basi B=(1+t,1-t,t^2) e B'=(\( \displaystyle {\left[\matrix{{1}&{1}\\{1}&{1}}\right]} \) , \( \displaystyle {\left[\matrix{{1}&{0}\\{0}&{1}}\right]} \) , \( \displaystyle {\left[\matrix{{0}&{0}\\{0}&{1}}\right]} \))

Il problema è che con la base di partenza e la base di arrivo diversa non lo so fare l'esercizio per favore aiutatemi

[Lullaby]

l'ho fatto (grazie ad un mio amico) e scrivo la risposta del quesito per chi ne dovesse avere bisogno

Prima di tutto bisogna trovare F(1+t), F(1-t) e F(t^2), per farlo sostituiamo in f(a+bt+t^2)=\( \displaystyle {\left[\matrix{{a}-{b}&{a}+{c}\\{a}+{c}&{a}-{b}}\right]} \) e avremo F(1+t)= a=1, b=1 e c=0 e la matrice diventa \( \displaystyle {\left[\matrix{{0}&{1}\\{1}&{0}}\right]} \) procedendo così anche per F(1-t) e F(t^2) risulterà per F(1-t)=\( \displaystyle {\left[\matrix{{2}&{1}\\{1}&{2}}\right]} \) e per F(t^2)=\( \displaystyle {\left[\matrix{{0}&{1}\\{1}&{0}}\right]} \) alla fine scrivo la combinazione lineare della base di arrivo quindi \( \displaystyle {\left[\matrix{{0}&{1}\\{1}&{0}}\right]} \)=x \( \displaystyle {\left[\matrix{{1}&{1}\\{1}&{1}}\right]} \)+y \( \displaystyle {\left[\matrix{{1}&{0}\\{0}&{1}}\right]} \)+z \( \displaystyle {\left[\matrix{{0}&{0}\\{0}&{1}}\right]} \) ottenendo la prima colonna della matrice A [1 -1 0]. Ripeto il procedimento anche con F(1-t) e F(t^2) e trovo le altre due colonne della matrice. L'esercizio è finito e spero sia chiaro il procedimento(Non fate il mio errore non confondete l'applicazione con la base xD)