Cambiamento di riferimento cartesiano ortonormale

[Saph]

Salve ragazzi, ecco il mio problema:

Devo determinare le formule del cambiamento di coordinate dal riferimento RC(O,x,y) al riferimento RC(O',x',y') sapendo che
\( \displaystyle {x}'\:={x}+{2}{y}+{3}={0} \) e \( \displaystyle {y}\:={2}{x}-{y}-{4}={0} \) e che l'asse x' è orientato come le \( \displaystyle {y}\lt{0} \).

Ecco cosa ho fatto:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}'={a}{\left({2}{x}-{y}-{4}\right)}\\{y}'={b}{\left({x}+{2}{y}+{3}\right)}}\right.} \)

da cui

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{5}{{a}}^{{2}}={1}\\{5}{{b}}^{{2}}={1}\\{5}{a}{b}=-{1}}\right.} \)

ora però mi manca una condizione. Ho visto nella soluzione che la quarta è: \( \displaystyle -{a}-{2}\lt-{2} \) ovvero \( \displaystyle {a}\gt{0} \), ma come si ci arriva?

[dissonance]

Non ho fatto nessun conto, ma una condizione simile (col segno di \( \displaystyle \lt \), per intenderci) non può che provenire dall'orientazione del nuovo sistema di riferimento (ovvero, concretamente, che il determinante della matrice di passaggio sia positivo).

[Saph]

no no il determinante della matrice di passaggio deve essere -1 in quanto i riferimenti sono inversamente congruenti (mi sto accorgendo ora di non averlo detto).

Alla fine sono riuscito a risolvere: la condizione \( \displaystyle -{a}-{2}\lt-{2} \) deriva dal fatto che, essendo l'ascissa del nuovo riferimento orientata come le \( \displaystyle {y}\lt{0} \), il punto unità \( \displaystyle {{U}_{{1}}^{'}} \) del nuovo riferimento avrà ordinata minore di \( \displaystyle {O}' \), origine del nuovo sistema di riferimento.