Campi intermedi di un'estensione ciclotomica

[Galoisfan]

Salve a tutti.
Un problema di teoria di Galois mi chiede di calcolare il gruppo di galois su $\mathbb Q$ del polinomio $x^7-1$.

Siccome si tratta di trovare il gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica su $\mathbb Q$, ponendo $\omega=e^{\frac{2\pi i}{7}}$ in questo caso si ha chiaramente che $Gal \mathbb Q(omega)$/$\mathbb Q$ $\cong (\mathbb Z_7)$* $cong C_6$. Se io ora volessi trovare i campi intermedi di tale estensione, devo considerare i sottogruppi di $C_6=\{\sigma_i : \sigma_i(\omega)=\omega^i, i=1,\ldots,6\}$ che in questo caso sono $<\sigma_2>$ e $<\sigma_3>$ e trovare i campi fissi. Questi ultimi per il teorema fondamentale della teoria di Galois saranno i campi intermedi cercati. Il problema e' che non riesco a trovare tali campi fissi. Quali potrebbero essere?

grazie in anticipo per la risposta

[Paolo90]

Come si diceva ieri con Martino, sono conti

Chiama $K:=QQ(\xi)$, $xi$ radice settima primitiva dell'unità. L'estensione ha grado 6 e una base di $K$ su $QQ$ è data da $(1,xi,xi^2,xi^3,xi^4,xi^5)$. Un qualunque elemento di $K$ si potrà scrivere quindi come (unica) combinazione lineare di elementi della base. Sia $alpha=a_0+a_1xi+a_2xi^2+a_3xi^3+a_4xi^4+a_5xi^5$.

Prendi il $QQ$-automorfismo $xi \mapsto xi^2$ e chiamalo $phi$. Allora $phi(alpha)=a_0+a_1xi^2+a_2xi^4+a_3xi^6+a_4xi^8+a_5xi^10$.

Ora, come puoi ridurre questa espressione a qualcosa di umano? Be', basta notare che vale la seguente relazione: $1+xi+xi^2+xi^3+xi^4+xi^5+xi^6=0$ ($xi$ è radice del settimo polinomio ciclotomico). Ma allora puoi esprimere $phi(alpha)$ come c.l. di elementi della base scelta di $K$ (perchè le potenze di $xi$ con esponente maggiore di 5 sono combinazioni lineari di quelle di esponente più basso). A quel punto imponendo l'uguaglianza (gli elementi del sottocampo fisso sono quelli per cui $alpha=\phi(alpha)$) trovi un sistema lineare. Una volto risolto, dovresti trovare (modulo errori di conto) che il sottocampo fisso è $\{a+b(xi+xi^2+xi^4), a,b \in QQ\}$.

A questo punto ti chiedo (domanda facile): questo campo intermedio è un'estensione normale di $QQ$?