campi ordinati

[albertobosia]

premetto che potrei aver perso una mezza lezione e quello che sto per chiedere è probabilmente una suuuuuuperbanalità

perché \(\mathbb C\) non è un campo ordinato?

pensavo che non fosse possibile definire un ordine totale in \(\mathbb{R\times R}\) ma chiaramente
\((a,b)\ll(c,d)\iff(a<c)\lor(a=c\land b\le d)\) è un ordine totale.

questo ordine però non regge la definizione di campo ordinato, in cui \(\forall a,b,c\in\mathbb K\) devono valere
\(a\le b\implies a+c\le b+c\)
\(0\le a\land0\le b\implies 0\le a\cdot b\)

ma per \(a=0,b=i\) si ha
\(0\ll i\land0\ll i\ \ \not\!\!\!\!\!\implies\!\!0\ll-1\)

chiaramente questo implica solo che \((\mathbb C,\ll)\) non è un campo ordinato
come si può dimostrare che \(\mathbb C\) non è un campo ordinato con nessun ordine?

[OT]
qual è il simbolo corretto per \(\ \!\not\!\!\!\!\!\implies\)?
l'ho fatto in un modo schifoso
so che c'è \(\nRightarrow\) ma non è quello che cerco (ed è pure brutto)
[/OT]

[dissonance]

Detto alla buona: se \((\mathbb{C}, \le)\) (qui \(\le\) indica una generica relazione d'ordine) fosse un campo ordinato, dovrebbe valere la regola dei segni, ma questo è mandato in contraddizione dal fatto che \(i^2=-1\). Bisogna formalizzare tutto a modino, però.

[maurer]

Ha ragione dissonance. Ma è piuttosto semplice da formalizzare: prima di tutto, se \( \displaystyle a > 0 \) allora \( \displaystyle 0 = a + (-a) > -a \) e quindi \( \displaystyle -a < 0 \) . Inoltre come al solito \( \displaystyle -a = (-1) \cdot a \) . Quindi \( \displaystyle (-a) \cdot (-b) = ((-1)\cdot a)\ \cdot(-b) = (-1) \cdot (a \cdot(-b)) = - (a \cdot (-b)) = - ( - (a \cdot b)) = a \cdot b \) . Ora, se \( \displaystyle a < 0, b < 0 \) da \( \displaystyle -a > 0, -b > 0 \) segue \( \displaystyle (-a)(-b) > 0 \) ossia \( \displaystyle a b > 0 \) . In particolare, per ogni \( \displaystyle a \ne 0 \) si ha \( \displaystyle a^2 > 0 \) .

Infine, \( \displaystyle 1 > 0 \) , quindi \( \displaystyle -1 < 0 \) . Siccome su \( \displaystyle \mathbb C \) abbiamo \( \displaystyle i^2 = -1 < 0 \) , \( \displaystyle \mathbb C \) non può essere un campo totalmente ordinato.

Esercizio. Mostrate che nessun campo finito può essere totalmente ordinato!