campo di spezzamento

[miuemia]

Calcolare il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$.
allora io ho fatto così: ho visto che è irriducibile su $QQ$ per il principio di Eisenstein e a questo punto mi sono calcolato le radici che sono :
$\sqrt{3}\phi_1$ , $\sqrt{3}\phi_3$ ,$ \sqrt{3}\phi_5$ , $\sqrt{3}\phi_7$ dove $\phi_i$ sono le radici ottave primitive dell'unità
e quindi ho considerato le seguenti estensioni:
$QQsubeQQ(\sqrt{3})subeQQ(\sqrt{3})(\phi_1)$ dove la prima ha grado $2$ e la seconda anche in quanto il polinomio minimo è $x^2+1$ quindi mi risulta che il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ è $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$
ovviamente mi basta aggiungere una sola radice primitiva perchè così facendo ho tutte le altre.
è corretto???

[miuemia]

forse...anzi sicuramente ho scritto una c****ta, in quanto il grado dell'estensione di $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$ su $QQ(\sqrt{3})$ non è $2$ ma $4$ in quanto $\sqrt{2}!inQQ(\sqrt{3})$...quindi il grado di $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$ su $QQ$ è $8$.
spero qualcuno possa darmi una mano in merito...

[Martino]

la seconda anche in quanto il polinomio minimo è $x^2+1$

No: il polinomio minimo è $x^4+1$, quindi il grado della seconda è 4, e il grado complessivo 8.

La puoi vedere anche cosi': il campo di spezzamento è $QQ[sqrt(3),sqrt(2);isqrt(2)]$, quindi:

$QQ subseteq QQ[sqrt(3)] subseteq QQ[sqrt(3),sqrt(2)] subseteq QQ[sqrt(3),sqrt(2);isqrt(2)]$

Alla seconda inclusione sali di grado perché 2 e 3 sono primi distinti, alla terza sali di grado perché $isqrt(2)$ non appartiene a $RR$.

[miuemia]

si martino mi sono corretto infatti... quindi il grado è $8$?
beh allora non mi torna un esercizio che dice di verificare che $x^4-5x^2-6$ e $x^4+9$ hanno lo stesso campo dispezzamento su $QQ$... ma questo non è possibile visto che il campo di spezzamento del primo su $QQ$ ha grado $4$ mentre il secondo ha grado $8$.
giusto???

[Martino]

Mh non so dovrei fare due conti

[miuemia]

ti posto i miei allora $x^4-5x^2-6=(x^2-6)(x^2+1)$ allora ho considerato le due estensioni di $QQ$ cioè:
$QQsubeQQ(\sqrt{6})$ e $QQsubeQQ(i)$ hanno entrambi grado $2$ quindi $QQ(\sqrt{6},i)$ ha grado $4$ su $QQ$ in quanto $i\sqrt{6} !inQQ$...
torna?

[Martino]

Edito: Attenzione mi sono sbagliato (ancora!):

il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ non è $QQ[sqrt(2),sqrt(3),isqrt(2)]$ ma $QQ[sqrt(2)(1+i),sqrt(3)]$. Ma non fidarti. Purtroppo adesso non ho molto tempo, stasera ti scrivo (se necessario) qualcosa di piu' sensato

Ciao.

[Martino]

Ovviamente mi sono sbagliato di nuovo

Forse era da un po' che non facevo questo tipo di calcoli...

Comunque ora mi sento di essere abbastanza sicuro di questo: il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ è il più piccolo sovracampo di $QQ$ contenente le quattro radici (complesse) di $x^4+9$, che sono $nu_k=sqrt{3} \cdot theta^k$ per k=1,3,5,7, e per $theta=1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2))$. Siano dunque $L=QQ(nu_1,nu_2,nu_3,nu_4)$ e $K=QQ(i,sqrt{6})$. Vogliamo mostrare che $L=K$.

$K subseteq L$: basta mostrare che $i$ e $sqrt{6}$ appartengono a $L$. Ora, $i=theta^2=(nu_3)/(nu_1) \in L$, e $2nu_1=sqrt(6)(1+i)$, da cui $sqrt(6) = (2nu_1)/(1+i) in L$.

$L subseteq K$: basta mostrare che i $nu_k$ appartengono a $K$. Ora,

$nu_1=sqrt(3)(1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(1+i) in K$

$nu_3=sqrt(3)(-1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(-1+i) in K$

$nu_5=sqrt(3)(-1/(sqrt(2))-i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(-1-i) in K$

$nu_7=sqrt(3)(1/(sqrt(2))-i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(1-i) in K$

Corollario: L ha grado 4 su $QQ$ (non 8).

[Martino]

In particolare:

$(nu_1^2)/3=i$, $2nu_1/(1+(nu_1^2)/3)=sqrt(6)$.

Quindi $L=QQ(nu_1)$. Ora è evidente che L ha grado 4 su Q perché il polinomio minimo di $nu_1$ è proprio $x^4+9$.

[miuemia]

si si ok martino grazie capito... e il polinomio minimo di $QQ(v_1)$ su $QQ(\sqrt{3})$ qual è????