campo di spezzamento

[ea2]

ciao devo trovare il campo di spezzamento di \( \displaystyle {{x}}^{{8}}-{1} \)
allora ho fatto così: \( \displaystyle {{x}}^{{8}}-{1}={\left({x}-{1}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{4}}+{1}\right)} \) ora mi concentro su \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{1} \) perchè sia riducibile devo trovare \( \displaystyle \alpha \) tc \( \displaystyle {{\left(\alpha\right)}}^{{2}}=-{1} \) che è \( \displaystyle {i} \) quindi inizio a considerare come campo \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left({i}\right)} \). ora vorrei trovare le radici di \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{1} \) ma come fare?
io pensavo :provo a vedere se c'è una combinazione lineare del tipo \( \displaystyle {a}+{i}{b} \)tc\( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{Q} \) che sostituita a x in \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{1} \) mi dia 0 e poi se cè ho finito il campo è \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left({i}\right)} \) altrimenti cosa faccio? io avrei trovato la combinazione con a e b uguali a \( \displaystyle \frac{{1}}{{\sqrt{{2}}}} \) ma deduco che non va bene perchè questi coefficienti non sono in \( \displaystyle \mathbb{Q} \). allora cosa faccio aggiungo solo \( \displaystyle \frac{{1}}{{\sqrt{{2}}}} \) in \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left({i}\right)} \)? grazie mille scusate eventuali errori da somaro.

[Martino]

Per fattorizzare \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{1} \) non fai altro che trovare le quattro radici quarte di \( \displaystyle -{1} \) in \( \displaystyle \mathbb{C} \). Per trovarle fai come al solito: la radice quarta del modulo, l'argomento diviso quattro.

Siccome \( \displaystyle {i} \) e \( \displaystyle \sqrt{{{2}}} \) ti bastano per raggiungerle a partire da \( \displaystyle \mathbb{Q} \), e d'altronde almeno loro ci devono essere, il c.r.c. che cerchi è (come dici giustamente) \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left({i},\sqrt{{{2}}}\right)} \).

[laura.]

qual è il campo di spezzamento del polinomio (x^6+1)(x^3-2)??? (x^6+1) si decompone in (x^2+1)(x^4-x^2+1) ,il cui campo di spezzamento dovrebbe essere Q(i. .√3)

[Martino]

qual è il campo di spezzamento del polinomio (x^6+1)(x^3-2)??? (x^6+1) si decompone in (x^2+1)(x^4-x^2+1) ,il cui campo di spezzamento dovrebbe essere Q(i. .√3)

[mod="Martino"]Ciao laura, benvenuta nel forum. Per favore apri un altro topic per proporre il tuo problema (per farlo entra nella sezione "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta" e clicca su "nuovo topic"). E prima di postare consulta questa pagina. Grazie per la comprensione.[/mod]