campo elettrico come gradiente del potenziale

[Feliciano]

Io so che il gradiente è un operatore matematico che ad una grandezza scalare associa una grandezza vettoriale; più precisamente \( \displaystyle \nabla{f{:}}{f{â}}‚¬{k}\to{\left(\frac{{{D}{f}}}{{\left.{d}{x}\right.}},\frac{{{D}{f}}}{{\left.{d}{y}\right.}},\frac{{{D}{f}}}{{\left.{d}{z}\right.}}\right)}€{{R}}^{{3}} \) almeno in \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \).

Nel caso specifico al potenziale che è scalare si associa il campo elettrico che è vettoriale.

Nel caso di un disco carico uniformemente posto nell'origine per calcolare il campo prodotto su tutti i punti del suo asse, io posso procedere in questo modo:
calcolo il potenziale in tutti i punti del suo asse e SCOPRO che il risultato è una funzione della sola Z (asse). Andando poi a fare le derivate rispetto a x, a y e a z vedo che il campo elettrico ha solo una componente parallela all'asse z PERCHÉ le altre due derivate risultano nulle. A questo punto osservo che tale risultato è PERFETTAMENTE GIUSTIFICABILE DA UN PUNTO DI VISTA FISICO data la simmetria della distribuzione di carica rispetto all'asse z (quindi i contributi normali a tale asse sono a due a due uguali ed opposti e si elidono).

Il mio professore ha detto che c'è un errore. A suo parere procedendo in questo modo anche se il campo avesse avuto delle componenti x e y io non le avrei trovate perchè ho calcolato il potenziale solo come funzione della Z (sinceramente non ho capito bene cosa volesse dire). Il procedimento giusto sarebbe stato dire: la distribuzione di carica è simmetrica rispetto a z e QUINDI (DA UN PUNTO DI VISTA FISICO) il campo ha solo componente Z e perciò mi vado a calcolare solo quello. Di conseguenza non ha senzo scrivere che \( \displaystyle {E}={\left(\frac{{{D}{V}}}{{\left.{d}{x}\right.}},\frac{{{D}{V}}}{{\left.{d}{y}\right.}},\frac{{{D}{V}}}{{\left.{d}{z}\right.}}\right)}={\left({0},{0},{E}_{{z}}\right)} \) ma andava semplicemente calcolato \( \displaystyle {E}_{{z}} \)

Chiedendo ulteriori chiarimenti il prof ha risposto che le mie sono considerazioni matematiche e in fisica il discorso è diverso (???).
Potreste gentilmente spiegarmi dov'è l'errore nel mio ragionamento.

Grazie
Un saluto

[Cmax]

Come hai detto, il fatto che le componenti \( \displaystyle \frac{{\partial{f}}}{{\partial{x}}},\frac{{\partial{f}}}{{\partial{y}}} \) siano nulle dipende dalla simmetria peculiare dell'asse del disco. Se ripetessi il ragionamento per una retta parallela all'asse ma non passante per il centro del disco, con il tuo ragionamento il potenziale dipenderebbe ancora dalla sola \( \displaystyle {z} \), essendo \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) costanti, ma è ovvio che in questo caso le componenti orizzontali non sono nulle. Mi sembra ci sia stato un post simile tempo fa. Per fare un paragone, quando ricerchi il minimo o massimo di una funzione, prima derivi la funzione e poi imponi che la derivata sia nulla, e non applichi la derivata al valore che la funzione assume in punto determinato.

[Feliciano]

Si credo di aver capito. Se provo a calcolare il potenziale (di una carica puntiforme per semplicità) in un qualsiasi punto dello spazio con coordinate x,y,z sembra tutto più chiaro.
Grazie