Caratterizzazione dei sottogruppi tramite automorfismi

[deserto]

Buongiorno.
Avrei bisogno di consigli, suggerimenti, osservazioni su quanto segue.
Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo e sia \( \displaystyle {T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \).
\( \displaystyle {i}\) \) Se \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle {T}{\left({H}\right)} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \).
\( \displaystyle {i}{i}\) \) Se \( \displaystyle {N} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle {T}{\left({N}\right)} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \).
\( \displaystyle {i}{i}{i}\) \) Se \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) tale che \( \displaystyle {T}{\left({H}\right)}\subset{H}\forall{T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) allora \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \).
\( \displaystyle {i}{v}\) \) \( \displaystyle {T}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}\subset{Z}{\left({G}\right)}\) \)
\( \displaystyle {v}\) \) \( \displaystyle {T}{\left({C}{\left({a}\right)}\right)}={C}{\left({T}{\left({a}\right)}\right)} \) dove \( \displaystyle {C}{\left({a}\right)}={\left\lbrace{x}\in{G};{x}{a}={a}{x}\right\rbrace} \)

Verifichiamo i vari punti.
\( \displaystyle {i}\) \) Sia \( \displaystyle {T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) e sia \( \displaystyle {H} \) un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \).
Siano \( \displaystyle {x}_{{1}},{x}_{{2}}\in{T}{\left({H}\right)}\Rightarrow\exists{h}_{{1}},{h}_{{2}}\in{H} \) tali che \( \displaystyle {x}_{{1}}={T}{\left({h}_{{1}}\right)} \) e \( \displaystyle {x}_{{2}}={T}{\left({h}_{{2}}\right)} \) \( \displaystyle \Rightarrow{x}_{{1}}{x}_{{2}}={T}{\left({h}_{{1}}\right)}{T}{\left({h}_{{2}}\right)}={T}{\left({h}_{{1}}{h}_{{2}}\right)} \) con \( \displaystyle {h}_{{1}}{h}_{{2}}\in{H} \) , \( \displaystyle \Rightarrow{x}_{{1}}{x}_{{2}}\in{T}{\left({H}\right)} \).
Sia \( \displaystyle {x}\in{T}{\left({H}\right)}\Rightarrow\exists{h}\in{H} \) tale che \( \displaystyle {x}={T}{\left({h}\right)} \) ed \( \displaystyle \exists{{h}}^{{-{1}}}\in{H} \) \( \displaystyle \Rightarrow{T}{\left({{h}}^{{-{1}}}\right)}={{\left({T}{\left({h}\right)}\right)}}^{{-{1}}}={{x}}^{{-{1}}}\Rightarrow{{x}}^{{-{1}}}\in{T}{\left({H}\right)} \).
Quindi \( \displaystyle {T}{\left({H}\right)} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \)

\( \displaystyle {i}{i}\) \) Siano \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) e \( \displaystyle {r}\in{T}{\left({N}\right)} \) allora \( \displaystyle \exists{n}\in{N} \) tale che \( \displaystyle {r}={T}{\left({n}\right)} \). Considero \( \displaystyle {g{{r}}}{{g}}^{{-{1}}} \) e provo che appartiene a \( \displaystyle {T}{\left({N}\right)}\) \). Poichè \( \displaystyle {N} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle \exists{\overline{{n}}} \) tale che \( \displaystyle {g{{n}}}{{g}}^{{-{1}}}={\overline{{n}}} \). Applicando \( \displaystyle {T} \) si ottiene: \( \displaystyle {T}{\left({\overline{{n}}}\right)}={T}{\left({g{{n}}}{{g}}^{{-{1}}}\right)}={T}{\left({g}\right)}{T}{\left({n}\right)}{{\left({T}{\left({g}\right)}\right)}}^{{-{1}}}={T}{\left({g}\right)}{r}{{\left({T}{\left({g}\right)}\right)}}^{{-{1}}} \), da cui si ottiene che \( \displaystyle {T}{\left({N}\right)} \) è normale in \( \displaystyle {G} \) essendo \( \displaystyle {T}{\left({\overline{{n}}}\right)}\in{T}{\left({N}\right)} \) e considerando il fatto che \( \displaystyle {T} \) è suriettiva.

\( \displaystyle {i}{i}{i}\) \) Ho provato sia in maniera diretta cioè usando la definizione di sottogruppo normale, sia per assurdo, ma non sono riuscito a concretizzare il risultato. Idee?

\( \displaystyle {i}{v}\) \) Sia \( \displaystyle {t}\in{T}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}\Rightarrow\exists{a}\in{Z}{\left({G}\right)} \) tale che \( \displaystyle {t}={T}{\left({a}\right)} \). D'altra parte \( \displaystyle {a}\in{Z}{\left({G}\right)}\Rightarrow{x}{a}={a}{x}\forall{x}\in{G} \) quindi: \( \displaystyle {t}={T}{\left({a}\right)}={T}{\left({x}{a}{{x}}^{{-{1}}}\right)}={T}{\left({x}\right)}{T}{\left({a}\right)}{{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}}^{{-{1}}}\Rightarrow{t}{T}{\left({x}\right)}={T}{\left({x}\right)}{t}\Rightarrow{t}\in{Z}{\left({G}\right)} \) essendo \( \displaystyle {T} \) suriettiva.
Ora il dubbio: sotto quali ipotesi si ha \( \displaystyle {T}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={Z}{\left({G}\right)}\forall{T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \)? oppure è sempre verificato perchè \( \displaystyle {T} \) è suriettiva?

\( \displaystyle {v}\) \) \( \displaystyle {T}{\left({C}{\left({a}\right)}\right)}\subset{C}{\left({T}{\left({a}\right)}\right)} \): sia \( \displaystyle {b}\in{T}{\left({C}{\left({a}\right)}\right)}\Rightarrow{b}={T}{\left({z}\right)} \) con \( \displaystyle {z}\in{C}{\left({a}\right)}\Rightarrow{b}={T}{\left({z}\right)} \) con \( \displaystyle {a}{z}={z}{a} \); applicando \( \displaystyle {T} \) si ha: \( \displaystyle {T}{\left({a}\right)}{b}={T}{\left({a}\right)}{T}{\left({z}\right)}={T}{\left({a}{z}\right)}={T}{\left({z}{a}\right)}={T}{\left({z}\right)}{T}{\left({a}\right)}={b}{T}{\left({a}\right)}\Rightarrow{b}\in{C}{\left({T}{\left({a}\right)}\right)} \)
\( \displaystyle {C}{\left({T}{\left({a}\right)}\right)}\subset{T}{\left({C}{\left({a}\right)}\right)} \): sia \( \displaystyle {b}\in{C}{\left({T}{\left({a}\right)}\right)}\Rightarrow{b}{T}{\left({a}\right)}={T}{\left({a}\right)}{b} \); essendo \( \displaystyle {T} \) suriettiva \( \displaystyle \exists{\overline{{b}}}\in{G} \) tale che \( \displaystyle {b}={T}{\left({\overline{{b}}}\right)} \), pertanto \( \displaystyle {T}{\left({\overline{{b}}}{a}\right)}={b}{T}{\left({a}\right)}={T}{\left({a}\right)}{b}={T}{\left({a}{\overline{{b}}}\right)}\Rightarrow{\overline{{b}}}{a}={a}{\overline{{b}}} \) perchè \( \displaystyle {T} \) è iniettiva, $=> \bar b in C(a) => b=T(\bar b) in T(C(a)).

Grazie

[Martino]

\( \displaystyle {i}{i}{i}\) \) Ho provato sia in maniera diretta cioè usando la definizione di sottogruppo normale, sia per assurdo, ma non sono riuscito a concretizzare il risultato. Idee?

Dato \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) considera la funzione \( \displaystyle {G}\to{G} \) che manda \( \displaystyle {x} \) in \( \displaystyle {{g}}^{{-{1}}}{x}{g} \). Cosa puoi dire?

sotto quali ipotesi si ha \( \displaystyle {T}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={Z}{\left({G}\right)}\forall{T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \)? oppure è sempre verificato perchè \( \displaystyle {T} \) è suriettiva?

Prova ad applicare il punto \( \displaystyle {i}{v} \) all'automorfismo \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}} \).

[deserto]

Se considero l'automorfismo interno \( \displaystyle \phi_{{x}}:{G}\to{G}:{x}\to{{g}}^{{-{1}}}{x}{g} \) si ha immediatamente \( \displaystyle \forall{h}\in{H} \) \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{g}}^{{-{1}}}{h}{g} \), essendo poi \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({H}\right)}\subset{H} \) si ha che \( \displaystyle \exists{\overline{{h}}}\in{H} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={\overline{{h}}} \) \( \displaystyle \Rightarrow{\overline{{h}}}={{g}}^{{-{1}}}{h}{g} \) ed \( \displaystyle {H} \) è normale in \( \displaystyle {G} \).

\( \displaystyle {T}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}\subset{Z}{\left({G}\right)}\forall{T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)}\Rightarrow \) in particolare \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}\subset{Z}{\left({G}\right)} \) essendo anche \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) quindi \( \displaystyle {Z}{\left({G}\right)}\subset{T}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)} \)

[Martino]

Già.

[deserto]

In riferimento a quanto segue

\( \displaystyle {i}{i}{i}\) \) Se \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) tale che \( \displaystyle {T}{\left({H}\right)}\subset{H}\forall{T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) allora \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \).

si chiede ora di trovare un esempio per cui se \( \displaystyle {N} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) allora non è necessariamente \( \displaystyle {T}{\left({N}\right)}\subset{N}\forall{T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \).
Su questo fatto ci ho lavorato sopra cercando un esempio in \( \displaystyle {S}_{{3}} \) senza arrivare al dunque, forse \( \displaystyle {S}_{{3}} \) non ha sottogruppi normali che contraddicono l'inverso del precedente risultato? Dai conti che ho fatto sembra che \( \displaystyle {\left\lbrace{e},{\left({231}\right)},{\left({312}\right)}\right\rbrace} \) sia l'unico sottogruppo normale di \( \displaystyle {S}_{{3}} \). A proposito c'è un Teorema, tipo quello di Sylow, che mi permette di dire quanti sottogruppi di ogni ordine e quanti sono normali per un generico \( \displaystyle {S}_{{n}} \)?
Allora mi sono accorto che potrebbe andare bene l'esempio pratico che ho discusso nella
http://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=363355
\( \displaystyle {G}={\left\lbrace{e},{a},{b},{a}{b}\right\rbrace} \) con \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}={e},{a}{b}={b}{a} \) è un gruppo di ordine \( \displaystyle {4} \) ed è abeliano, pertanto tutti i suoi sottogruppi sono normali.
Considerato allora \( \displaystyle {T}_{{3}}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{3}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{3}}{\left({a}\right)}={b},{T}_{{3}}{\left({b}\right)}={a},{T}_{{3}}{\left({a}{b}\right)}={a}{b} \) si ha che, posto \( \displaystyle {N}_{{a}}={\left\lbrace{e},{a}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {N}_{{b}}={\left\lbrace{e},{b}\right\rbrace} \), risulta \( \displaystyle {T}_{{3}}{\left({N}_{{a}}\right)}\subset{N}_{{b}} \) dove \( \displaystyle {N}_{{a}} \) e \( \displaystyle {N}_{{b}} \) sono sottogruppi normali di \( \displaystyle {G} \).

[Martino]

Una notazione: dico che un sottogruppo \( \displaystyle {H} \) di \( \displaystyle {G} \) è caratteristico se \( \displaystyle {T}{\left({H}\right)}\subseteq{H} \) per ogni \( \displaystyle {T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) (il che è come dire \( \displaystyle {T}{\left({H}\right)}={H} \) per ogni \( \displaystyle {T}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \)). Come hai dimostrato, ogni sottogruppo caratteristico è normale.

c'è un Teorema, tipo quello di Sylow, che mi permette di dire quanti sottogruppi di ogni ordine e quanti sono normali per un generico \( \displaystyle {S}_{{n}} \)?

Quello che si può dire è che se \( \displaystyle {n}\ne{4} \) i soli sottogruppi normali di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) sono \( \displaystyle {1} \), \( \displaystyle {A}_{{n}} \) e \( \displaystyle {S}_{{n}} \), e sono caratteristici. \( \displaystyle {S}_{{4}} \) ha un quarto sottogruppo normale del tipo \( \displaystyle {C}_{{2}}\times{C}_{{2}} \), e anzi caratteristico. In effetti in ogni \( \displaystyle {S}_{{n}} \) un sottogruppo è normale se e solo se è caratteristico.

Allora mi sono accorto che potrebbe andare bene l'esempio pratico che ho discusso nella
http://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=363355
\( \displaystyle {G}={\left\lbrace{e},{a},{b},{a}{b}\right\rbrace} \) con \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}={e},{a}{b}={b}{a} \) è un gruppo di ordine \( \displaystyle {4} \) ed è abeliano, pertanto tutti i suoi sottogruppi sono normali.
Considerato allora \( \displaystyle {T}_{{3}}\in{A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) tale che \( \displaystyle {T}_{{3}}{\left({e}\right)}={e},{T}_{{3}}{\left({a}\right)}={b},{T}_{{3}}{\left({b}\right)}={a},{T}_{{3}}{\left({a}{b}\right)}={a}{b} \) si ha che, posto \( \displaystyle {N}_{{a}}={\left\lbrace{e},{a}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {N}_{{b}}={\left\lbrace{e},{b}\right\rbrace} \), risulta \( \displaystyle {T}_{{3}}{\left({N}_{{a}}\right)}\subset{N}_{{b}} \) dove \( \displaystyle {N}_{{a}} \) e \( \displaystyle {N}_{{b}} \) sono sottogruppi normali di \( \displaystyle {G} \).

Sì concordo.

Sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano.

[Martino]

Sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano.

Un controesempio non abeliano è (banalmente) \( \displaystyle {H}\times{H} \), dove \( \displaystyle {H} \) è un fissato gruppo non abeliano, infatti lo scambio \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}\to{\left({y},{x}\right)} \) è un automorfismo di \( \displaystyle {H}\times{H} \) che scambia i due fattori \( \displaystyle {H}\times{1} \) e \( \displaystyle {1}\times{H} \), che sono quindi normali ma non caratteristici.

Quindi riformulo: sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano e indecomponibile.

[deserto]

Come faccio a sapere se un gruppo è indecomponibile? Se il gruppo delle unità dei quaternioni è indecomponibile allora credo che esso possa andare bene.
Ciao

[Martino]

Come faccio a sapere se un gruppo è indecomponibile? Se il gruppo delle unità dei quaternioni è indecomponibile allora credo che esso possa andare bene.

Hai ragione, il gruppo dei quaternioni \( \displaystyle {Q}_{{8}} \) (di ordine 8) va bene. Infatti ogni suo sottogruppo è normale ma non ogni suo automorfismo è interno (ed esiste un automorfismo che scambia due generatori). E' indecomponibile perché se potessimo scrivere \( \displaystyle {Q}_{{8}}={H}\times{K} \) con \( \displaystyle {H} \), \( \displaystyle {K} \) sottogruppi propri di \( \displaystyle {Q}_{{8}} \) allora \( \displaystyle {H},{K} \) avrebbero ordine \( \displaystyle \le{4} \) quindi sarebbero abeliani, e di conseguenza anche \( \displaystyle {Q}_{{8}} \) dovrebbe essere abeliano, cosa non vera.

Non conosco un metodo generale per decidere se un gruppo è indecomponibile.