Ho trovato questo in "Maximal subgroups of direct products" (Jacques Thévenaz):
"LEMMA.The lattice of subgroups of G × G containing ∆ is isomorphic to the lattice of normal subgroups of G. In particular ∆ is maximal if and only if G is simple."
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Allora, definiamo \( \displaystyle \alpha \) e \( \displaystyle \beta \):
\( \displaystyle {\left\lbrace\Delta\leq{S}\leq{G}\times{G}\right\rbrace}\leftrightarrow{\left\lbrace{N}\right.} \) normale in \( \displaystyle {G}\rbrace \)
\( \displaystyle {S}\rightarrow\alpha{\left({S}\right)}={\left\lbrace{n}:{\left({n},{1}\right)}\in{S}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left({n}{g},{g}\right)}:{n}\in{N},{g{\in}}{G}\right\rbrace}=\beta{\left({N}\right)}\leftarrow{N} \)
Sono ben definite, basta dimostrare che se \( \displaystyle \Delta\leq{S}\leq{G}\times{G} \) allora \( \displaystyle \alpha{\left({S}\right)} \) è normale in \( \displaystyle {G} \), e se \( \displaystyle {N} \) è normale in \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle \Delta\leq\beta{\left({N}\right)}\leq{G}\times{G} \), è facile.
Queste funzioni sono inverse l'una dell'altra, basta dimostrare che \( \displaystyle \beta{\left(\alpha{\left({S}\right)}\right)}={S} \) e \( \displaystyle \alpha{\left(\beta{\left({N}\right)}\right)}={N} \), anche questo è facile.
\( \displaystyle {\left\lbrace\Delta\leq{S}\leq{G}\times{G}\right\rbrace}\leftrightarrow{\left\lbrace{N}\right.} \) normale in \( \displaystyle {G}\rbrace \)
\( \displaystyle {S}\rightarrow\alpha{\left({S}\right)}={\left\lbrace{n}:{\left({n},{1}\right)}\in{S}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {\left\lbrace{\left({n}{g},{g}\right)}:{n}\in{N},{g{\in}}{G}\right\rbrace}=\beta{\left({N}\right)}\leftarrow{N} \)
Sono ben definite, basta dimostrare che se \( \displaystyle \Delta\leq{S}\leq{G}\times{G} \) allora \( \displaystyle \alpha{\left({S}\right)} \) è normale in \( \displaystyle {G} \), e se \( \displaystyle {N} \) è normale in \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle \Delta\leq\beta{\left({N}\right)}\leq{G}\times{G} \), è facile.
Queste funzioni sono inverse l'una dell'altra, basta dimostrare che \( \displaystyle \beta{\left(\alpha{\left({S}\right)}\right)}={S} \) e \( \displaystyle \alpha{\left(\beta{\left({N}\right)}\right)}={N} \), anche questo è facile.
Bello esercizio!
