Caratterizzazione gruppi semplici

[Martino]

Una caratterizzazione divertente:

Dato un gruppo \( \displaystyle G \) , mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. \( \displaystyle G \) è semplice.
2. \( \displaystyle \Delta := \{(g,g)\ |\ g \in G\} \) è un sottogruppo massimale di \( \displaystyle G \times G \) .

[mistake89]

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Ci provo sperando di non dire bestialità, anche perchè ho appena letto la definizione di sottogruppo massimale, quindi potrei averla capita male

\( \displaystyle {1}\to{2} \)
Considero il gruppo \( \displaystyle \Delta \), esso risulta normale in \( \displaystyle {G}{x}{G} \) perchè stabile sotto la coniugazione, poichè per ipotesi \( \displaystyle {G} \) è semplice, allora \( \displaystyle \Delta={G}{x}{G} \)
Ma questa cosa non mi convince... è vero sempre che un prodotto diretto di gruppi semplici è semplice?

\( \displaystyle {2}\to{1} \)
costruisco un omomorfismo \( \displaystyle \phi \) da \( \displaystyle {G}{x}{G} \) in \( \displaystyle {G} \) con la mappa che associa a \( \displaystyle {\left({g},{g}\right)} \), \( \displaystyle {g{\in}}{G} \). Il \( \displaystyle {k}{e}{r} \) è ridotto al solo elemento neutro, e risulta ovviamente surgettivo. Posso costruire il quoziente \( \displaystyle {G}{x}{G}\//{k}{e}{r}\phi \), essendo il \( \displaystyle {k}{e}{r} \) un sottogruppo normale, e so che il mio gruppo quoziente è isomorfo a \( \displaystyle {G}={I}{m}{\left(\phi\right)} \). Ma essendo \( \displaystyle {k}{e}{r} \) banale, allora \( \displaystyle {G}{x}{G}\//{K}{e}{r}\phi={G}{x}{G} \), quindi \( \displaystyle {G} \) è semplice.

Che dici Martino, ho detto qualche bestialità?

[Martino]

Ho due obiezioni.

(a) \( \displaystyle \Delta \) non è normale in \( \displaystyle {G}\times{G} \).

(b) La seconda parte (\( \displaystyle {2}\to{1} \)) non dimostra niente. La mappa \( \displaystyle {\left({g},{g}\right)}\to{g} \) è un isomorfismo, e non capisco come deduci da questo che \( \displaystyle {G} \) è semplice.

PS: se \( \displaystyle {G}\ne{\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) è semplice allora \( \displaystyle {G}\times{G} \) non è mai semplice.

[mistake89]

Immaginavo di aver detto bestialità
Ci penserò ancora un pò su. Chiedo giusto per avere la certezza, ancora ho capito male, un sottogruppo si dice massimale se è il più grande dei sottogruppi (propri) di un gruppo \( \displaystyle {G} \)? Dove ho letto la definizione io la riferiva in generale ad una certa proprietà \( \displaystyle {P} \)

Il PS me lo annoterò, può sempre tornare utile.
Grazie!

[Martino]

un sottogruppo si dice massimale se è il più grande dei sottogruppi (propri) di un gruppo \( \displaystyle {G} \)?

Più precisamente, un sottogruppo proprio \( \displaystyle {M} \) di \( \displaystyle {G} \) si dice sottogruppo massimale di \( \displaystyle {G} \) se non esistono sottogruppi propri \( \displaystyle {H} \) di \( \displaystyle {G} \) che contengono propriamente \( \displaystyle {M} \). In altre parole ogni volta che \( \displaystyle {M}\le{H}\le{G} \) si ha \( \displaystyle {H}={M} \) oppure \( \displaystyle {H}={G} \).

Il PS me lo annoterò, può sempre tornare utile.

Se ci pensi è ovvio: \( \displaystyle {\left\lbrace{1}\right\rbrace}\times{G} \) e \( \displaystyle {G}\times{\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) sono sottogruppi normali di \( \displaystyle {G}\times{G} \)

[mistake89]

Martino, ho trovato una definizione equivalente di gruppo semplice che magari spiega un pò cosa ho tentato di fare per dimostrare \( \displaystyle {2}\to{1} \)

\( \displaystyle {G} \) è semplice se i soli gruppi omomorfi a \( \displaystyle {G} \) sono isomorfi a \( \displaystyle {G} \) o a \( \displaystyle {\left\lbrace{1}\right\rbrace} \).
Con questo intento ho costruito il mio isomorfismo, ma magari c'era qualcosa che non andava!

[Martino]

Il fatto è che un gruppo \( \displaystyle {G} \) è sempre isomorfo a \( \displaystyle \Delta={\left\lbrace{\left({g},{g}\right)}\ {\mid}\ {g{\in}}{G}\right\rbrace} \), a prescindere da come sia fatto \( \displaystyle {G} \).

[mistake89]

Ho capito! Però non capisco allora la definizione di semplice sopra esposta, devo pensarci meglio.
Continuerò a pensarci... ieri mi ha fatto volar via il pomeriggio

[vict85]

Devo ammettere che questa risposta è frutto di una ricerca; quindi non mi è venuta in mente proprio spontaneamente. Devo ammettere che è un problema relativamente difficile ma effettivamente abbastanza illuminante, almeno per me.

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LEMMA Se \( \displaystyle N \) è un sottogruppo normale allora il sottoinsieme \( \displaystyle S \) di \( \displaystyle G^2 \) definito come \( \displaystyle S=\cup (g,g)N^2 \) (l'unione dei quadrati dei laterali sinistri di \( \displaystyle N \) ) è un sottogruppo di \( \displaystyle G \) .

Ovviamente dimostrato questo segue il teorema direttamente.

DIMOSTRAZIONE - Devo dimostrare che \( \displaystyle (g_1n_1,g_1n_2)(g_2n_3,g_2n_4)^{-1}\in S \) .
Cominciamo con il fare il calcolo \( \displaystyle (g_1n_1,g_1n_2)(g_2n_3,g_2n_4)^{-1} = (g_1n_1,g_1n_2)(n_3^{-1}g_2^{-1}, n_4^{-1}g_2^{-1}) = (g_1n_1n_3^{-1}g_2^{-1}, g_1n_2n_4^{-1}g_2^{-1}) \) . Per la normalità di \( \displaystyle N \) esisteranno inoltre \( \displaystyle n_5 \) e \( \displaystyle n_6 \) tali che \( \displaystyle n_2n_3^{-1}g_2^{-1} = g_2^{-1}n_5 \) e \( \displaystyle n_2n_4^{-1}g_2^{-1} = g_2^{-1}n_6 \) . Quindi \( \displaystyle (g_1n_1n_3^{-1}g_2^{-1}, g_1n_2n_4^{-1}g_2^{-1}) = (g_1g_2^{-1}n_5, g_1g_2^{-1}n_6)\in S \) .

[Martino]

@vict:

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più semplicemente, se \( \displaystyle {N} \) è normale in \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle \Delta{\left({N}\times{N}\right)} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G}\times{G} \) in quanto \( \displaystyle {N}\times{N} \) è normale in \( \displaystyle {G}\times{G} \) (in generale se uno di due sottogruppi è normale allora il loro prodotto è un sottogruppo). Inoltre se \( \displaystyle {N}\ne{G} \) allora \( \displaystyle \Delta{\left({N}\times{N}\right)}\ne{G}\times{G} \) perché se \( \displaystyle {g{\in}}{G}-{N} \) allora \( \displaystyle {\left({1},{g}\right)} \) non appartiene a \( \displaystyle \Delta{\left({N}\times{N}\right)} \). Questo dimostra \( \displaystyle {2}\to{1} \).

Ma \( \displaystyle {1}\to{2} \) è ancora intonso

ieri mi ha fatto volar via il pomeriggio

Tempo usato ottimamente