Cardinalità di insiemi

[giampfrank]

Ciao, volevo chiedervi se è giusta lo soluzione di questo esercizio.
Sia \( \displaystyle {A} \) un insieme avente \( \displaystyle {20} \) elementi e siano \( \displaystyle {B} \) e \( \displaystyle {C} \) due sottoinsiemi disgiunti di \( \displaystyle {A} \) aventi ciascuno \( \displaystyle {4} \) elementi. Si calcoli la cardinalità dei seguenti insiemi \( \displaystyle {X} \), \( \displaystyle {Y} \) e \( \displaystyle {Z} \):

\( \displaystyle {X}\:={\left\lbrace{f{\in}}{{A}}^{{A}}{\mid}{f}\right.} \)è iniettiva\( \displaystyle \rbrace \)
\( \displaystyle {Y}\:={\left\lbrace{f{\in}}{X}{\mid}{f{{\left({B}\right)}}}\subset{C}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {Z}\:={\left\lbrace{D}\in{{2}}^{{A}}{\mid}{B}\subset{D}{e}{D}\cap{C}=\emptyset\right\rbrace} \)

Soluzione...
\( \displaystyle {X} \) = numero funzioni iniettive da A in A = bigez(\( \displaystyle {A} \),\( \displaystyle {A} \)) =\( \displaystyle {\left|{A}\right|}! \)=\( \displaystyle {20}! \)

\( \displaystyle {Y} \) = numero di tutte le funzioni iniettive da \( \displaystyle {A}\backslash{B} \) in \( \displaystyle {A} \) con tutte le funzioni iniettive da \( \displaystyle {B} \) a \( \displaystyle {C} \), (le iniettive da un 4-insieme ad un 4-insieme). \( \displaystyle {\left|{Y}\right|}={\left|{{A}}^{{{\left|{A}\backslash{B}\right|}}}\right|}\cdot{\left|{B}\right|}!={{20}}^{{16}}\cdot{4}! \)

\( \displaystyle {Z} \) = Considero l'insieme delle parti di \( \displaystyle {A} \) che non possiede elementi di \( \displaystyle {C} \), e poichè \( \displaystyle {D} \) comprende almeno \( \displaystyle {B} \) allora \( \displaystyle {\left|{Z}\right|}={\left|{{2}}^{{{A}\backslash{C}}}\right|}-{{2}}^{{\left|{B}\right|}}={{2}}^{{16}}-{{2}}^{{4}} \)

[adaBTTLS]

\( \displaystyle {X} \) è OK (nel senso che \( \displaystyle {\left|{X}\right|}={20}! \)), gli altri due non mi convincono.
io direi \( \displaystyle {\left|{Y}\right|}={16}!\cdot{4}! \), \( \displaystyle {\left|{Z}\right|}={{2}}^{{12}} \).
prova a rifletterci e facci sapere. ciao.

[giampfrank]

\( \displaystyle {X} \) è OK (nel senso che \( \displaystyle {\left|{X}\right|}={20}! \)), gli altri due non mi convincono.
io direi \( \displaystyle {\left|{Y}\right|}={16}!\cdot{4}! \), \( \displaystyle {\left|{Z}\right|}={{2}}^{{12}} \).
prova a rifletterci e facci sapere. ciao.

ciao ADA, per la \( \displaystyle {\left|{Y}\right|} \) ho dedotto che si tratta di tutte le funzioni iniettive da \( \displaystyle {A} \) in \( \displaystyle {A} \) tali che \( \displaystyle {4} \) elementi (\( \displaystyle {\left|{B}\right|} \)) vadano in un insieme di 4 elementi (\( \displaystyle {\left|{C}\right|} \)) e \( \displaystyle {16} \) elementi (\( \displaystyle {\left|{A}\backslash{B}\right|} \)) vadano in un insieme di \( \displaystyle {16} \) elementi (\( \displaystyle {\left|{A}\backslash{C}\right|} \)), per cui il calcolo è uguale a: \( \displaystyle {\left|{Y}\right|}={4}!\cdot{16}! \)

per il terzo, siccome \( \displaystyle {D} \) ha sempre almeno 4 elementi (\( \displaystyle {\left|{B}\right|} \)) e può variare fino ad un massimo di 16 elementi(\( \displaystyle {\left|{A}\backslash{C}\right|} \)), posso rappresentare tutti i possibili sottoinsiemi di un \( \displaystyle {16}-{4}={12} \)-insieme, quindi \( \displaystyle {{2}}^{{12}} \). E' corretto il ragionamento?

Ciao

[adaBTTLS]

sì, il ragionamento è giusto.

dovresti ridurre il tuo avatar (le dimensioni massime sono riportate nel regolamento). ciao.