Cardinalità di uno spazio vettoriale finito

[Obionekenobi]

Come faccio a provare che la cardinalità di uno spazio vettoriale finito V è pari alla cardinalità del campo K su cui è definito elevato alla dimensione di V??? Posso usare la somma diretta??? Io sono arrivato a dire che in questo caso, se dim V=n e se |K|= p, allora lo spazio vettoriale è diviso in p sottospazi disgiunti di n elementi. E poi come continuo? Grazie.

[Martino]

Ogni elemento si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi di una base...

[Obionekenobi]

Che ogni elemento si scrive così ci ero arrivato pure io....ma non riesco a capire come questo si lega con la tesi del teorema....non c'è nessuno formula da applicare??

[Martino]

No, non c'è nessuna formula. Basta che osservi che se \( \displaystyle \{v_1,...,v_n\} \) è una base, allora un generico elemento è \( \displaystyle \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n \) e ovviamente hai tante scelte per ogni coefficiente \( \displaystyle \lambda_i \) quant'è la cardinalità del campo base.

[Obionekenobi]

Non mi convince però ti credo.