cardinalita' insiemi

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nel libro "Lezioni di analisi matematica" di Soardi a pagina 56 si dice:
... diremo che un insieme A ha la potenza o cardinalita' superiore a B se A e B non sono equipotenti, ma esiste un sottoinsieme proprio A' contenuto in A tale che A' e' equipotente a B

inoltre nel libro di "Geometria" di Abate a pagina 98 risulta che
... un insieme X ha cardinalita' minore di Y se esiste un'applicazione iniettiva f:X-->Y

la mia domanda e' la seguente:
mi risulta chiaro il modo in cui si dimostra che l'insieme dei numeri naturali N e l'insieme dei numeri razionali Q hanno la stessa cardinalita', ma se definisco la funzione f:N-->Q come f(n)=(n,1) allora ho costruito una funzione biettiva tra l'insieme N e un sottoinsieme di Q, che chiamo Q', e quindi tenendo conto delle citazioni dei libri scritte prima posso anche dire che la cardinalita' di N e' minore di Q, in quanto card N=card Q' e Q' e' contenuto in Q.

[ViciousGoblin]

nel libro "Lezioni di analisi matematica" di Soardi a pagina 56 si dice:
... diremo che un insieme A ha la potenza o cardinalita' superiore a B se A e B non sono equipotenti, ma esiste un sottoinsieme proprio A` contenuto in A tale che A` e' equipotente a B

inoltre nel libro di "Geometria" di Abate a pagina 98 risulta che
... un insieme X ha cardinalita' minore di Y se esiste un'applicazione iniettiva f:X-->Y

la mia domanda e' la seguente:
mi risulta chiaro il modo in cui si dimostra che l'insieme dei numeri naturali N e l'insieme dei numeri razionali Q hanno la stessa cardinalita', ma se definisco la funzione f:N-->Q come f(n)=(n,1) allora ho costruito una funzione biettiva tra l'insieme N e un sottoinsieme di Q, che chiamo Q`, e quindi tenendo conto delle citazioni dei libri scritte prima posso anche dire che la cardinalita' di N e' minore di Q, in quanto card N=card Q` e Q` e' contenuto in Q.

Purtroppo la tua domanda non e' chiara per gli errori inella stesura delle formule (dollari mancanti ??).
Pero' a intuito direi che nellla seconda definizione la parola "minore" va intesa in senso debole (cioe' va letta "minore o eguale"), altrimenti ogni insieme avrebbe cardinalita' minore
di se stesso (l'applicazione identica e' iniettiva).
Non so se questa precisazione risponde alla tua domanda misteriosa.

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tuttavia se guardi la prima definizione, che compare anche in molti siti di matematica, sembra che l'insieme N abbia cardinalita' minore di Q.in quanto e' equipotente a una sua parte propria, come risulta dalla definizione della funzione f(n)=(n,1)

[ViciousGoblin]

tuttavia se guardi la prima definizione, che compare anche in molti siti di matematica, sembra che l'insieme N abbia cardinalita' minore di Q.in quanto e' equipotente a una sua parte propria, come risulta dalla definizione della funzione f(n)=(n,1)

La prima definizione richede che \( \displaystyle {A} \) sia equipotente a una parte propria di \( \displaystyle {B} \) e che non sia equipotente a \( \displaystyle {B} \)

La prima richiesta e' un "minore o eguale" tra le cardinalita' mentre la seconda e' un "diverso" (da cui il minore).

Nel caso che dici tu si ricava che la cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{N} \) e' minore o eguale alla cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (cosa vera)