Categorie additive e preabeliane

[killing_buddha]

KA1. Una categoria \( \displaystyle \mathsf C \) si dice additiva se comunque dati \( \displaystyle X,Y,Z\in \text{Ob}(\mathsf C) \) , \( \displaystyle \text{Hom}(X,Y) \) e' (un insieme che e') dotato di una struttura di gruppo abeliano, e la composizione

\( \displaystyle \text{Hom}(X,Y)\times \text{Hom}(Y,Z)\to\text{Hom}(X,Z) \)

e' billineare (per l'operazione di gruppo abeliano sugli \( \displaystyle \text{Hom}(\bullet,\bullet) \) ).

KA2. Una categoria e' preabeliana se e' additiva e, comunque data una freccia \( \displaystyle u : A \to B \) esiste una fattorizzazione

\( \displaystyle N \xrightarrow{j} A \xrightarrow{p} I \xrightarrow{p^*} B \xrightarrow{j^*} C \)

dove \( \displaystyle (N,j) \) e' il nucleo di \( \displaystyle u \) , \( \displaystyle (j^*,C) \) e' il conucleo di \( \displaystyle u \) , \( \displaystyle (A,p) \) e' il conucleo di \( \displaystyle j \) , \( \displaystyle (p^*,B) \) e' il nucleo di \( \displaystyle j^* \) e infine \( \displaystyle u=p^* p \) .

Ecco il mio problema: leggo (Godement, Topologie Algébrique et théorie des faisceaux) che una categoria preabeliana ha un oggetto zero ("basta applicare KA2 alla freccia identica di un oggetto \( \displaystyle S \) "). Non capisco pero' come fare a mostrarlo.

Per unificare le notazioni: \( \displaystyle (N,j:N\to A) \) e' nucleo per \( \displaystyle u:A\to B \) se \( \displaystyle uj=0 \) e, per ogni altra freccia \( \displaystyle f:X\to A \) esiste unica \( \displaystyle \bar f:X\to K \) tale che \( \displaystyle f=j\bar f \) . Il conucleo e' la nozione duale a quella di nucleo. L'immagine di \( \displaystyle u \) e' il nucleo del suo conucleo. La coimmagine di \( \displaystyle u \) e' il conucleo del suo nucleo.

[killing_buddha]

Soprattutto mi accorgo che qualcosa non quadra perfettamente: Anzitutto, se \( \displaystyle a,b \) sono due frecce componibili, non e' chiaro come si deve intendere che \( \displaystyle ab=0 \) puo' forse indicare che la loro composizione da' la freccia zero? Con un acrobazia, wiki definisce una "famiglia di oggetti zero in \( \displaystyle \mathsf C \) ". Precisa poi che se \( \displaystyle \mathsf C \) e' una categoria additiva, esiste una famiglia di oggetti zero. E' da intendere cosi', dunque, la composizione?

Altra precisazione che mi rendo conto di dover dare (la mia speranza era di riuscire a tradurre in linguaggio un po' piu' moderno la trattazione, ma mi rendo conto che in effetti certe cose non sono proprio equivalenti a risultati odierni): Godement da una definizione alternativa di nucleo e conucleo. Per \( \displaystyle u : A \to B \) , un nucleo di \( \displaystyle u \) e' una coppia \( \displaystyle (N,j) \) tale che, per ogni oggetto \( \displaystyle X \) la sequenza

\( \displaystyle o\to \text{Hom}(X,N)\to \text{Hom}(X,A)\to \text{Hom}(X,B) \)

sia esatta.
Analogamente un conucleo per \( \displaystyle u \) e' una coppia \( \displaystyle (j^*,C) \) tale che, per ogni oggetto \( \displaystyle Y \) la sequenza

\( \displaystyle o\to \text{Hom}(C,Y)\to \text{Hom}(B,Y)\to \text{Hom}(A,Y) \)

sia esatta.

[Martino]

Soprattutto mi accorgo che qualcosa non quadra perfettamente: Anzitutto, se \( \displaystyle a,b \) sono due frecce componibili, non e' chiaro come si deve intendere che \( \displaystyle ab=0 \) puo' forse indicare che la loro composizione da' la freccia zero?

Beh, in ogni Hom c'è uno zero no? (l'elemento neutro del gruppo Hom).

Sono andato a consultare le note di Facchini. Lui definisce una categoria additiva come una categoria preadditiva con uno zero-oggetto in cui ogni coppia di oggetti ammette un coprodotto.

Poi vedo se riesco a conciliare questa definizione con quella che hai proposto.

[killing_buddha]

Beh, in ogni Hom c'è uno zero no? (l'elemento neutro del gruppo Hom).

Sono andato a consultare le note di Facchini. Lui definisce una categoria additiva come una categoria preadditiva con uno zero-oggetto in cui ogni coppia di oggetti ammette un coprodotto.

Poi vedo se riesco a conciliare questa definizione con quella che hai proposto.

Dici che e' quello, il morfismo zero da A a B? Succede una cosa del genere, in quel caso:

[Martino]

Il punto curioso è che abbiamo definizioni diverse di categoria additiva. Quella che per te è una categoria additiva per me è una categoria preadditiva. In effetti non è chiaro come si debba applicare KA2 alla freccia identica. L'oggetto $I$ che compare in KA2 dipende da A,B oppure è universale?

[killing_buddha]

Si', ci sono parecchi problemi di compatibilita':

Supponiamo che \( \displaystyle \mathsf C \) abbia nuclei e conuclei per ogni oggetto. Allora, per ogni freccia \( \displaystyle f:A\to B \) , esiste una fattorizzazione canonica
\( \displaystyle \ker f \xrightarrow{i} A \xrightarrow{} \text{coim}\, f \xrightarrow{\phi} \text{im}\, f \xrightarrow{} B \xrightarrow{p} \text{coker}\, f \)
La categoria si dice esatta se per ogni freccia \( \displaystyle f \) la freccia indotta da quella fattorizzazione e' un isomorfismo.

Godement suppone tacitamente che quella che lui chiama categoria additiva sia esatta, e quindi non "separa" \( \displaystyle I \) in \( \displaystyle \text{coim}\, f \xrightarrow{\phi} \text{im}\, f \) (quella fattorizzazione credo sia universale, perche' universali sono immagine e coimmagine visti come ker del coker e coker del ker). Piu' che da A,B dipende da \( \displaystyle f \) ... Ma nella definizione di Iversen una categoria esatta deve gia' avere oggetti zero...

[Martino]

Ci siamo persi in un bicchier d'acqua!

Considera l'identità $1:A to A$, e il suo nucleo $j:N to A$. Si ha allora che $j = 1 circ j = 0$ dalla definizione di nucleo. Dato un qualunque morfismo $t:N to N$ si ha $j circ t=0 \circ t = 0$ per bilinearità, quindi $j circ t = j = j circ 1$. La proprietà universale del nucleo implica che $t=1$.

Quindi $Hom(N,N)=0$, quindi $N$ è uno zero-oggetto.

[killing_buddha]

Non so, non mi convince ancora del tutto....

[Martino]

Cosa non ti convince?

[killing_buddha]

Ci siamo persi in un bicchier d'acqua!

Considera l'identità $1:A to A$, e il suo nucleo $j:N to A$. Si ha allora che $j = 1 circ j = 0$ dalla definizione di nucleo. Dato un qualunque morfismo $t:N to N$ si ha $j circ t=0 \circ t = 0$ per bilinearità, quindi $j circ t = j = j circ 1$. La proprietà universale del nucleo implica che $t=1$.

Quindi $Hom(N,N)=0$, quindi $N$ è uno zero-oggetto.

Quando dici $j = 0$ intendi il neutro di $Hom(N to A)$?
Poi non capisco il senso di $j circ t=0 \circ t = 0$. Io avrei detto in un solo passaggio che $j circ t=0 \circ t = 0=j=j circ 1_N$ e allora $t=1_N$...